Номер 108, страница 23 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

108. Под поршнем в вертикальном цилиндре, площадь основания которого $S=80 \text{ см}^2$, находится газ при температуре $T=280 \text{ К}$ под давлением $p=100 \text{ кПа}$. На поршень положили гирю массой $m=20 \text{ кг}$, и поршень опустился. На сколько следует нагреть газ в цилиндре, чтобы поршень вернулся в первоначальное положение? Массой поршня и трением пренебречь.

Дано:

$S = 80 \text{ см}^2$
$T_1 = 280 \text{ К}$
$p_1 = 100 \text{ кПа}$
$m = 20 \text{ кг}$

$S = 80 \cdot (10^{-2} \text{ м})^2 = 80 \cdot 10^{-4} \text{ м}^2 = 8 \cdot 10^{-3} \text{ м}^2$
$p_1 = 100 \cdot 10^3 \text{ Па} = 10^5 \text{ Па}$

Найти:

$\Delta T$

Решение:

Рассмотрим два состояния газа в цилиндре: начальное (до того, как положили гирю) и конечное (после того, как положили гирю и нагрели газ до возвращения поршня в исходное положение).

Параметры начального состояния (состояние 1): давление $p_1$, температура $T_1$, объем $V_1$.

Параметры конечного состояния (состояние 2): давление $p_2$, температура $T_2$, объем $V_2$.

По условию задачи, поршень вернулся в первоначальное положение, следовательно, объем газа в конечном состоянии равен объему в начальном состоянии: $V_2 = V_1$. Процесс, связывающий начальное и конечное состояния, является изохорным (протекает при постоянном объеме).

В начальном состоянии поршень находится в равновесии под действием силы давления газа изнутри и силы атмосферного давления снаружи (массой поршня и трением пренебрегаем). Следовательно, начальное давление газа равно атмосферному давлению: $p_{атм} = p_1$.

В конечном состоянии на поршень действует сила давления газа изнутри, сила атмосферного давления снаружи и сила тяжести гири $mg$. Условие равновесия поршня в конечном состоянии:

$p_2 S = p_{атм} S + mg$

Заменяя $p_{атм}$ на $p_1$, получаем:

$p_2 S = p_1 S + mg$

Отсюда находим давление газа в конечном состоянии:

$p_2 = p_1 + \frac{mg}{S}$

Для изохорного процесса справедлив закон Шарля:

$\frac{p_1}{T_1} = \frac{p_2}{T_2}$

Выразим конечную температуру $T_2$:

$T_2 = T_1 \frac{p_2}{p_1} = T_1 \frac{p_1 + \frac{mg}{S}}{p_1} = T_1 \left(1 + \frac{mg}{p_1 S}\right)$

Изменение температуры $\Delta T$ равно разности конечной и начальной температур:

$\Delta T = T_2 - T_1 = T_1 \left(1 + \frac{mg}{p_1 S}\right) - T_1 = T_1 + \frac{T_1 mg}{p_1 S} - T_1 = \frac{T_1 mg}{p_1 S}$

Подставим числовые значения. Примем ускорение свободного падения $g \approx 10 \text{ Н/кг}$.

$\Delta T = \frac{280 \text{ К} \cdot 20 \text{ кг} \cdot 10 \text{ Н/кг}}{10^5 \text{ Па} \cdot 8 \cdot 10^{-3} \text{ м}^2} = \frac{56000}{800} \text{ К} = 70 \text{ К}$

Ответ: газ в цилиндре следует нагреть на $70 \text{ К}$.