Номер 101, страница 22 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

101. Вместимость сосуда, в котором создан вакуум, $V = 14 \text{ см}^3$. В результате микротрещины в сосуд ежесекундно проникает $N_1 = 1,0 \cdot 10^{17}$ молекул воздуха. Через какой промежуток времени сосуд наполнится воздухом до давления $p = 6,9 \cdot 10^4 \text{ Па}$? Температура воздуха $T = 280 \text{ К}$.

Дано:

$V = 14 \text{ см}^3$

$N_1 = 1,0 \cdot 10^{17} \text{ с}^{-1}$

$p = 6,9 \cdot 10^4 \text{ Па}$

$T = 280 \text{ К}$

$k \approx 1,38 \cdot 10^{-23} \text{ Дж/К}$ (постоянная Больцмана)

$V = 14 \text{ см}^3 = 14 \cdot (10^{-2} \text{ м})^3 = 14 \cdot 10^{-6} \text{ м}^3$

Найти:

$\Delta t$

Решение:

Для нахождения времени, необходимого для заполнения сосуда, сначала определим, какое общее количество молекул воздуха $N$ должно оказаться в сосуде для создания давления $p$. Для этого воспользуемся уравнением состояния идеального газа:

$p V = N k T$

где $p$ — давление, $V$ — объем, $N$ — число молекул, $k$ — постоянная Больцмана, $T$ — абсолютная температура.

Выразим из этого уравнения искомое число молекул $N$:

$N = \frac{p V}{k T}$

Из условия задачи известно, что в сосуд ежесекундно проникает $N_1$ молекул. Значит, общее число молекул $N$, которое попадет в сосуд за промежуток времени $\Delta t$, можно найти по формуле:

$N = N_1 \cdot \Delta t$

Приравнивая два полученных выражения для $N$, мы можем найти время $\Delta t$:

$N_1 \cdot \Delta t = \frac{p V}{k T}$

Отсюда выражаем $\Delta t$:

$\Delta t = \frac{p V}{k T N_1}$

Теперь подставим числовые значения в полученную формулу, убедившись, что все величины выражены в системе СИ:

$\Delta t = \frac{6,9 \cdot 10^4 \text{ Па} \cdot 14 \cdot 10^{-6} \text{ м}^3}{1,38 \cdot 10^{-23} \text{ Дж/К} \cdot 280 \text{ К} \cdot 1,0 \cdot 10^{17} \text{ с}^{-1}}$

Выполним вычисления:

$\Delta t = \frac{96,6 \cdot 10^{-2}}{386,4 \cdot 10^{-6}} \text{ с} = \frac{0,966}{3,864 \cdot 10^{-4}} \text{ с} \approx 0,25 \cdot 10^4 \text{ с} = 2500 \text{ с}$

Ответ: $2500 \text{ с}$.