Номер 97, страница 21 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

97. После того как объем, занимаемый идеальным газом, уменьшили на $\alpha = 10 \%$, а температуру увеличили на $\Delta T = 24 \text{ К}$, давление газа возросло на $\beta = 20 \%$. Определите конечную температуру газа.

Дано:

Уменьшение объема, $\alpha = 10~\% = 0.1$

Увеличение температуры, $\Delta T = 24 \text{ К}$

Увеличение давления, $\beta = 20~\% = 0.2$

Найти:

Конечную температуру газа, $T_2$

Решение:

Запишем состояние идеального газа до и после изменений. Будем считать количество вещества газа $\nu$ постоянным. Состояние газа описывается уравнением состояния идеального газа (уравнением Менделеева-Клапейрона) $pV = \nu RT$. Для двух состояний газа можно записать объединенный газовый закон:

$\frac{p_1 V_1}{T_1} = \frac{p_2 V_2}{T_2}$

где $p_1, V_1, T_1$ - начальные давление, объем и абсолютная температура газа, а $p_2, V_2, T_2$ - конечные параметры.

Согласно условию задачи, конечные параметры связаны с начальными следующими соотношениями:

1. Объем уменьшили на $\alpha = 10~\%$. Это означает, что конечный объем составляет $100~\% - 10~\% = 90~\%$ от начального:

$V_2 = V_1 - \alpha V_1 = V_1(1 - \alpha) = V_1(1 - 0.1) = 0.9 V_1$

2. Температуру увеличили на $\Delta T = 24 \text{ К}$:

$T_2 = T_1 + \Delta T = T_1 + 24$

3. Давление возросло на $\beta = 20~\%$. Это означает, что конечное давление составляет $100~\% + 20~\% = 120~\%$ от начального:

$p_2 = p_1 + \beta p_1 = p_1(1 + \beta) = p_1(1 + 0.2) = 1.2 p_1$

Теперь подставим эти выражения для конечных параметров в объединенный газовый закон:

$\frac{p_1 V_1}{T_1} = \frac{(1.2 p_1) \cdot (0.9 V_1)}{T_1 + 24}$

Можно сократить $p_1$ и $V_1$ в обеих частях уравнения, так как они не равны нулю:

$\frac{1}{T_1} = \frac{1.2 \cdot 0.9}{T_1 + 24}$

$\frac{1}{T_1} = \frac{1.08}{T_1 + 24}$

Решим полученное уравнение относительно $T_1$, используя свойство пропорции (перекрестное умножение):

$1 \cdot (T_1 + 24) = 1.08 \cdot T_1$

$T_1 + 24 = 1.08 T_1$

Перенесем все члены с $T_1$ в правую часть уравнения:

$24 = 1.08 T_1 - T_1$

$24 = 0.08 T_1$

Отсюда находим начальную температуру $T_1$:

$T_1 = \frac{24}{0.08} = \frac{2400}{8} = 300 \text{ К}$

Задача требует найти конечную температуру газа $T_2$. Используем найденное значение $T_1$:

$T_2 = T_1 + \Delta T = 300 \text{ К} + 24 \text{ К} = 324 \text{ К}$

Ответ: конечная температура газа равна $324 \text{ К}$.