Номер 91, страница 20 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

91. При нормальных условиях (давление $p_0 = 760 \text{ мм рт. ст.}$, температура $t_0 = 0°C$) плотность воздуха $\rho_0 = 1,29 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}$. Определите плотность этого же воздуха при температуре $t = 74°C$ и давлении $p = 600 \text{ мм рт. ст.}$.

Дано:

$p_0 = 760$ мм рт. ст.

$t_0 = 0$ °C

$\rho_0 = 1,29$ кг/м³

$p = 600$ мм рт. ст.

$t = 74$ °C

Перевод в систему СИ:

$T_0 = t_0 + 273,15 = 0 + 273,15 = 273,15$ К

$T = t + 273,15 = 74 + 273,15 = 347,15$ К

Давление можно не переводить в Паскали, так как в формуле будет использоваться их отношение.

Найти:

$\rho$ - ?

Решение:

Для решения задачи воспользуемся уравнением состояния идеального газа (уравнением Менделеева-Клапейрона):

$pV = \frac{m}{M}RT$

где $p$ — давление, $V$ — объём, $m$ — масса газа, $M$ — молярная масса газа, $R$ — универсальная газовая постоянная, $T$ — абсолютная температура.

Плотность газа $\rho$ определяется как отношение массы к объёму: $\rho = \frac{m}{V}$. Выразим объём через плотность: $V = \frac{m}{\rho}$.

Подставим это выражение в уравнение состояния:

$p\frac{m}{\rho} = \frac{m}{M}RT$

Сократим массу $m$ в обеих частях уравнения:

$\frac{p}{\rho} = \frac{RT}{M}$

Выразим из этого уравнения плотность:

$\rho = \frac{pM}{RT}$

Запишем это соотношение для двух состояний газа (начального и конечного):

Для нормальных условий: $\rho_0 = \frac{p_0 M}{RT_0}$

Для заданных условий: $\rho = \frac{pM}{RT}$

Разделим второе уравнение на первое, чтобы исключить постоянные величины $M$ и $R$:

$\frac{\rho}{\rho_0} = \frac{\frac{pM}{RT}}{\frac{p_0 M}{RT_0}} = \frac{pM}{RT} \cdot \frac{RT_0}{p_0 M} = \frac{p}{p_0} \cdot \frac{T_0}{T}$

Отсюда выразим искомую плотность $\rho$:

$\rho = \rho_0 \cdot \frac{p}{p_0} \cdot \frac{T_0}{T}$

Подставим числовые значения:

$\rho = 1,29 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} \cdot \frac{600 \text{ мм рт. ст.}}{760 \text{ мм рт. ст.}} \cdot \frac{273,15 \text{ К}}{347,15 \text{ К}}$

$\rho \approx 1,29 \cdot 0,7895 \cdot 0,7868 \approx 0,801 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}$

Ответ: плотность воздуха при заданных условиях составит приблизительно $0,801 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}$.