Номер 85, страница 20 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

85. В двух теплоизолированных одинаковых баллонах, соединенных трубкой с краном, находится гелий, массы которого одинаковы. В одном баллоне средняя квадратичная скорость теплового движения атомов гелия $\langle v_{\text{кв1}} \rangle = 1,35 \frac{\text{км}}{\text{с}}$, в другом — $\langle v_{\text{кв2}} \rangle = 1,80 \frac{\text{км}}{\text{с}}$. Определите среднюю квадратичную скорость теплового движения атомов гелия после открытия крана и установления в баллонах теплового равновесия. Теплоемкостью баллонов пренебречь.

Дано:

$m_1 = m_2 = m$

$\langle v_{кв1} \rangle = 1,35 \frac{км}{с}$

$\langle v_{кв2} \rangle = 1,80 \frac{км}{с}$

$\langle v_{кв1} \rangle = 1,35 \cdot 10^3 \frac{м}{с} = 1350 \frac{м}{с}$
$\langle v_{кв2} \rangle = 1,80 \cdot 10^3 \frac{м}{с} = 1800 \frac{м}{с}$

Найти:

$\langle v_{кв} \rangle$

Решение:

Гелий является одноатомным идеальным газом. Его внутренняя энергия $U$ определяется только кинетической энергией теплового движения атомов и может быть выражена через среднеквадратичную скорость $\langle v_{кв} \rangle$ и массу газа $m$ по формуле:

$U = \frac{1}{2} m \langle v_{кв} \rangle^2$

До открытия крана внутренняя энергия гелия в первом баллоне была:

$U_1 = \frac{1}{2} m_1 \langle v_{кв1} \rangle^2$

А во втором баллоне:

$U_2 = \frac{1}{2} m_2 \langle v_{кв2} \rangle^2$

Так как массы газов в баллонах одинаковы ($m_1 = m_2 = m$), то суммарная начальная внутренняя энергия системы была:

$U_{нач} = U_1 + U_2 = \frac{1}{2} m \langle v_{кв1} \rangle^2 + \frac{1}{2} m \langle v_{кв2} \rangle^2 = \frac{1}{2} m (\langle v_{кв1} \rangle^2 + \langle v_{кв2} \rangle^2)$

После открытия крана газы смешиваются. Баллоны теплоизолированы, и теплоемкостью баллонов можно пренебречь, поэтому система является замкнутой. Согласно закону сохранения энергии, полная внутренняя энергия системы не изменяется.

После установления теплового равновесия общая масса газа станет $M = m_1 + m_2 = 2m$, и установится некоторая конечная среднеквадратичная скорость $\langle v_{кв} \rangle$. Конечная внутренняя энергия системы будет равна:

$U_{кон} = \frac{1}{2} M \langle v_{кв} \rangle^2 = \frac{1}{2} (2m) \langle v_{кв} \rangle^2 = m \langle v_{кв} \rangle^2$

Приравниваем начальную и конечную внутреннюю энергию:

$U_{нач} = U_{кон}$

$\frac{1}{2} m (\langle v_{кв1} \rangle^2 + \langle v_{кв2} \rangle^2) = m \langle v_{кв} \rangle^2$

Сокращаем массу $m$ и получаем выражение для квадрата искомой скорости:

$\langle v_{кв} \rangle^2 = \frac{\langle v_{кв1} \rangle^2 + \langle v_{кв2} \rangle^2}{2}$

Отсюда находим саму среднеквадратичную скорость:

$\langle v_{кв} \rangle = \sqrt{\frac{\langle v_{кв1} \rangle^2 + \langle v_{кв2} \rangle^2}{2}}$

Подставим числовые значения. Расчет можно вести в км/с, так как единицы измерения в числителе и знаменателе согласованы.

$\langle v_{кв} \rangle = \sqrt{\frac{(1,35 \frac{км}{с})^2 + (1,80 \frac{км}{с})^2}{2}} = \sqrt{\frac{1,8225 + 3,24}{2}} \frac{км}{с} = \sqrt{\frac{5,0625}{2}} \frac{км}{с} = \sqrt{2,53125} \frac{км}{с} \approx 1,59 \frac{км}{с}$

Ответ: средняя квадратичная скорость теплового движения атомов гелия после установления теплового равновесия составит примерно $1,59 \frac{км}{с}$.