Номер 81, страница 19 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

81. Подогретая гелий-кислородная смесь применяется в медицине для лечения органов дыхания. Определите среднюю квадратичную скорость теплового движения молекул гелия, если средняя квадратичная скорость теплового движения молекул кислорода $\langle v_{\text{кв}} \rangle_{\text{O}_2} = 0,49 \frac{\text{км}}{\text{с}}$.

Дано:

Средняя квадратичная скорость молекул кислорода $\langle v_{кв} \rangle_{O_2} = 0,49 \frac{км}{с}$

Молярная масса гелия (справочное значение) $M_{He} = 4 \times 10^{-3} \frac{кг}{моль}$

Молярная масса кислорода (справочное значение) $M_{O_2} = 32 \times 10^{-3} \frac{кг}{моль}$

Перевод в систему СИ:

$\langle v_{кв} \rangle_{O_2} = 0,49 \times 10^3 \frac{м}{с} = 490 \frac{м}{с}$

Найти:

Среднюю квадратичную скорость молекул гелия $\langle v_{кв} \rangle_{He}$ — ?

Решение:

Поскольку гелий и кислород находятся в одной смеси, они пребывают в состоянии теплового равновесия, что означает, что их температуры одинаковы. Средняя кинетическая энергия поступательного движения молекул газа определяется только температурой:

$\langle E_k \rangle = \frac{3}{2}kT$

где $k$ — постоянная Больцмана, $T$ — абсолютная температура.

Так как температура газов в смеси одинакова, то средние кинетические энергии их молекул равны:

$\langle E_k \rangle_{He} = \langle E_k \rangle_{O_2}$

Средняя кинетическая энергия также выражается через массу одной молекулы $m_0$ и среднюю квадратичную скорость $\langle v_{кв} \rangle$:

$\langle E_k \rangle = \frac{m_0 \langle v_{кв} \rangle^2}{2}$

Приравнивая выражения для средних кинетических энергий молекул гелия и кислорода, получаем:

$\frac{m_{0, He} \langle v_{кв} \rangle_{He}^2}{2} = \frac{m_{0, O_2} \langle v_{кв} \rangle_{O_2}^2}{2}$

Сократив на 2, получим:

$m_{0, He} \langle v_{кв} \rangle_{He}^2 = m_{0, O_2} \langle v_{кв} \rangle_{O_2}^2$

Выразим искомую среднюю квадратичную скорость молекул гелия:

$\langle v_{кв} \rangle_{He}^2 = \frac{m_{0, O_2}}{m_{0, He}} \langle v_{кв} \rangle_{O_2}^2$

$\langle v_{кв} \rangle_{He} = \sqrt{\frac{m_{0, O_2}}{m_{0, He}}} \cdot \langle v_{кв} \rangle_{O_2}$

Отношение масс отдельных молекул равно отношению их молярных масс ($M$):

$\frac{m_{0, O_2}}{m_{0, He}} = \frac{M_{O_2}}{M_{He}}$

Подставим это соотношение в формулу для скорости:

$\langle v_{кв} \rangle_{He} = \sqrt{\frac{M_{O_2}}{M_{He}}} \cdot \langle v_{кв} \rangle_{O_2}$

Теперь подставим числовые значения:

$\langle v_{кв} \rangle_{He} = \sqrt{\frac{32 \times 10^{-3} \frac{кг}{моль}}{4 \times 10^{-3} \frac{кг}{моль}}} \cdot 490 \frac{м}{с} = \sqrt{8} \cdot 490 \frac{м}{с}$

Так как $\sqrt{8} = 2\sqrt{2} \approx 2 \cdot 1,414 = 2,828$, то:

$\langle v_{кв} \rangle_{He} \approx 2,828 \cdot 490 \frac{м}{с} \approx 1385,7 \frac{м}{с}$

Округлим результат до двух значащих цифр, как в условии задачи ($0,49$):

$\langle v_{кв} \rangle_{He} \approx 1400 \frac{м}{с} = 1,4 \frac{км}{с}$

Ответ: средняя квадратичная скорость теплового движения молекул гелия составляет примерно $1,4 \frac{км}{с}$.