Номер 79, страница 19 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

79. Средняя квадратичная скорость поступательного движения атомов ксенона, заполняющего автомобильную лампу освещения, $\langle v_{\text{кв}}\rangle=240 \frac{\text{M}}{\text{c}}$. Определите число молекул этого газа, если его масса $m=1,6 \text{ мг}$, а температура $t=27 ^{\circ}\text{C}$.

Дано:

Газ - ксенон (Xe)

Средняя квадратичная скорость поступательного движения атомов, $\langle v_{кв} \rangle = 240 \, \frac{\text{м}}{\text{с}}$

Масса газа, $m = 1,6 \, \text{мг}$

Температура, $t = 27°C$

Постоянная Больцмана, $k \approx 1,38 \cdot 10^{-23} \, \frac{\text{Дж}}{\text{К}}$

Перевод в систему СИ:

$m = 1,6 \cdot 10^{-3} \, \text{г} = 1,6 \cdot 10^{-6} \, \text{кг}$

Абсолютная температура, $T = t + 273 = 27 + 273 = 300 \, \text{К}$

Найти:

Число молекул (атомов) газа $N$

Решение:

Общее число атомов газа $N$ можно найти как отношение общей массы газа $m$ к массе одного атома $m_0$:

$N = \frac{m}{m_0}$

Массу одного атома ксенона $m_0$ можно выразить через среднюю кинетическую энергию поступательного движения атомов. Средняя кинетическая энергия одного атома связана со средней квадратичной скоростью и абсолютной температурой $T$ следующим соотношением:

$\langle E_к \rangle = \frac{m_0 \langle v_{кв} \rangle^2}{2} = \frac{3}{2}kT$

Из этого уравнения выразим массу одного атома $m_0$:

$m_0 \langle v_{кв} \rangle^2 = 3kT$

$m_0 = \frac{3kT}{\langle v_{кв} \rangle^2}$

Теперь подставим полученное выражение для $m_0$ в формулу для нахождения числа атомов $N$:

$N = \frac{m}{m_0} = \frac{m}{\frac{3kT}{\langle v_{кв} \rangle^2}} = \frac{m \cdot \langle v_{кв} \rangle^2}{3kT}$

Подставим числовые значения из условия задачи в систему СИ:

$N = \frac{(1,6 \cdot 10^{-6} \, \text{кг}) \cdot (240 \, \frac{\text{м}}{\text{с}})^2}{3 \cdot (1,38 \cdot 10^{-23} \, \frac{\text{Дж}}{\text{К}}) \cdot (300 \, \text{К})}$

Проведем вычисления:

$N = \frac{1,6 \cdot 10^{-6} \cdot 57600}{3 \cdot 1,38 \cdot 10^{-23} \cdot 300} = \frac{9,216 \cdot 10^{-2}}{1242 \cdot 10^{-23}} = \frac{9,216 \cdot 10^{-2}}{1,242 \cdot 10^{-20}}$

$N \approx 7,42 \cdot 10^{18}$

Ответ: число атомов ксенона в лампе составляет $7,42 \cdot 10^{18}$.