Номер 76, страница 18 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

76. Во сколько раз средняя квадратичная скорость движения молекул водяного пара в летний день при температуре $t_1 = 30^\circ \text{C}$ больше, чем в зимний день при температуре $t_2 = -30^\circ \text{C}$?

Дано:

Температура в летний день, $t_1 = 30 \text{ °C}$

Температура в зимний день, $t_2 = -30 \text{ °C}$

Переведем температуры в систему СИ (Кельвины), используя формулу $T = t + 273.15$. Для упрощения расчетов часто используют $T = t + 273$.

$T_1 = 30 + 273 = 303 \text{ К}$

$T_2 = -30 + 273 = 243 \text{ К}$

Найти:

Отношение средних квадратичных скоростей $\frac{v_{кв1}}{v_{кв2}}$

Решение:

Средняя кинетическая энергия поступательного движения молекул идеального газа связана с абсолютной температурой соотношением: $E_k = \frac{m_0 v_{кв}^2}{2} = \frac{3}{2}kT$, где $m_0$ – масса одной молекулы, $v_{кв}$ – средняя квадратичная скорость, $k$ – постоянная Больцмана, $T$ – абсолютная температура.

Из этого соотношения можно выразить среднюю квадратичную скорость:

$v_{кв} = \sqrt{\frac{3kT}{m_0}}$

Из формулы видно, что средняя квадратичная скорость молекул газа прямо пропорциональна квадратному корню из его абсолютной температуры ($v_{кв} \sim \sqrt{T}$), так как все остальные величины ($k, m_0$) являются константами для данного газа.

Чтобы определить, во сколько раз средняя квадратичная скорость молекул водяного пара в летний день ($v_{кв1}$) больше, чем в зимний день ($v_{кв2}$), найдем отношение этих скоростей:

$\frac{v_{кв1}}{v_{кв2}} = \frac{\sqrt{\frac{3kT_1}{m_0}}}{\sqrt{\frac{3kT_2}{m_0}}} = \sqrt{\frac{T_1}{T_2}}$

Подставим числовые значения абсолютных температур:

$\frac{v_{кв1}}{v_{кв2}} = \sqrt{\frac{303 \text{ К}}{243 \text{ К}}} = \sqrt{\frac{101}{81}} = \frac{\sqrt{101}}{\sqrt{81}} = \frac{\sqrt{101}}{9}$

Вычислим приближенное значение:

$\frac{v_{кв1}}{v_{кв2}} \approx \frac{10.05}{9} \approx 1.1166...$

Округляя до сотых, получаем, что скорость больше примерно в 1.12 раза.

Ответ: средняя квадратичная скорость движения молекул водяного пара в летний день при температуре 30 °C больше, чем в зимний день при -30 °C, примерно в 1.12 раза.