Номер 69, страница 17 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

69. Во сколько раз изменится давление идеального газа, если его объем уменьшится в $\alpha = 3,0$ раза, а средняя кинетическая энергия поступательного движения молекул увеличится на $\eta = 30 \%$?

Дано

$\alpha = \frac{V_1}{V_2} = 3,0$
$\eta = 30 \% = 0,3$

Найти:

$\frac{P_2}{P_1}$

Решение

Давление идеального газа $P$ можно выразить через концентрацию молекул $n$ и среднюю кинетическую энергию их поступательного движения $E_k$ с помощью основного уравнения молекулярно-кинетической теории:

$P = \frac{2}{3} n E_k$

Концентрация молекул $n$ — это отношение числа молекул $N$ к объему $V$, который занимает газ: $n = \frac{N}{V}$. Подставив это в формулу для давления, получим:

$P = \frac{2}{3} \frac{N}{V} E_k$

Запишем это уравнение для начального (с индексом 1) и конечного (с индексом 2) состояний газа. Предполагаем, что количество газа (а значит, и число молекул $N$) в процессе не меняется.

Для начального состояния:

$P_1 = \frac{2}{3} \frac{N}{V_1} E_{k1}$

Для конечного состояния:

$P_2 = \frac{2}{3} \frac{N}{V_2} E_{k2}$

Чтобы определить, во сколько раз изменилось давление, найдем отношение конечного давления $P_2$ к начальному $P_1$:

$\frac{P_2}{P_1} = \frac{\frac{2}{3} \frac{N}{V_2} E_{k2}}{\frac{2}{3} \frac{N}{V_1} E_{k1}}$

Сократив общие множители ($ \frac{2}{3} $ и $N$), получим:

$\frac{P_2}{P_1} = \frac{V_1}{V_2} \cdot \frac{E_{k2}}{E_{k1}}$

Из условий задачи нам известны отношения объемов и энергий.

Объем уменьшился в $\alpha = 3,0$ раза, что означает:

$\frac{V_1}{V_2} = \alpha = 3,0$

Средняя кинетическая энергия увеличилась на $\eta = 30\%$. Это значит, что конечная энергия $E_{k2}$ равна начальной энергии $E_{k1}$ плюс $30\%$ от начальной:

$E_{k2} = E_{k1} + \eta \cdot E_{k1} = E_{k1} (1 + \eta) = E_{k1} (1 + 0,3) = 1,3 \cdot E_{k1}$

Отсюда находим отношение энергий:

$\frac{E_{k2}}{E_{k1}} = 1,3$

Подставим найденные значения отношений в формулу для $\frac{P_2}{P_1}$:

$\frac{P_2}{P_1} = 3,0 \cdot 1,3 = 3,9$

Ответ: давление увеличится в 3,9 раза.