Номер 68, страница 17 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

68. Во сколько раз изменился объем идеального газа, если давление возросло в $\alpha=6$ раз, а средняя кинетическая энергия поступательного движения молекул увеличилась на $\eta=50$ % ?

Дано:

$\frac{p_2}{p_1} = \alpha = 6$

$\eta = 50\%$

Найти:

$\frac{V_2}{V_1}$ - ?

Решение:

Для решения задачи воспользуемся уравнением состояния идеального газа (уравнением Клапейрона) для двух состояний. Предполагается, что количество вещества (масса) газа остается постоянным.

Уравнение для начального состояния (1) и конечного состояния (2):

$\frac{p_1V_1}{T_1} = \frac{p_2V_2}{T_2}$

где $p, V, T$ – это давление, объем и абсолютная температура газа соответственно.

Из этого уравнения выразим искомое отношение конечного объема к начальному $\frac{V_2}{V_1}$:

$\frac{V_2}{V_1} = \frac{p_1}{p_2} \cdot \frac{T_2}{T_1}$

Теперь найдем отношения давления и температуры из условия задачи.

По условию, давление возросло в $\alpha=6$ раз, следовательно:

$\frac{p_2}{p_1} = 6$, или $\frac{p_1}{p_2} = \frac{1}{6}$

Средняя кинетическая энергия поступательного движения молекул идеального газа $\bar{E_k}$ прямо пропорциональна его абсолютной температуре $T$:

$\bar{E_k} = \frac{3}{2}kT$

где $k$ – постоянная Больцмана. Из этой формулы следует, что отношение температур равно отношению средних кинетических энергий:

$\frac{T_2}{T_1} = \frac{\bar{E_{k2}}}{\bar{E_{k1}}}$

По условию, средняя кинетическая энергия увеличилась на $\eta = 50\%$. Это значит, что конечная энергия $\bar{E_{k2}}$ составляет 150% от начальной $\bar{E_{k1}}$:

$\bar{E_{k2}} = \bar{E_{k1}} + 0.5 \cdot \bar{E_{k1}} = (1 + 0.5) \cdot \bar{E_{k1}} = 1.5 \cdot \bar{E_{k1}}$

Следовательно, отношение температур:

$\frac{T_2}{T_1} = \frac{1.5 \cdot \bar{E_{k1}}}{\bar{E_{k1}}} = 1.5$

Теперь мы можем подставить найденные отношения давлений и температур в формулу для отношения объемов:

$\frac{V_2}{V_1} = \frac{1}{6} \cdot 1.5 = \frac{1.5}{6} = \frac{3}{12} = \frac{1}{4} = 0.25$

Результат показывает, что конечный объем составляет 0.25 от начального, то есть объем уменьшился в 4 раза.

Ответ: объем идеального газа уменьшился в 4 раза.