Номер 61, страница 16 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

61. По трубе площадью поперечного сечения $S = 8,00 \text{ см}^2$ перекачивают идеальный газ со скоростью, модуль которой $v_{\text{г}} = 8,50 \frac{\text{М}}{\text{с}}$. Газ массой $m = 1,90 \text{ кг}$ проходит через поперечное сечение трубы за промежуток времени $\Delta t = 5,00 \text{ мин}$. Определите среднюю квадратичную скорость теплового движения молекул, если давление газа в трубе $p = 390 \text{ кПа}$.

Дано:

$S = 8,00 \text{ см}^2 = 8,00 \cdot 10^{-4} \text{ м}^2$

$v_г = 8,50 \frac{\text{м}}{\text{с}}$

$m = 1,90 \text{ кг}$

$\Delta t = 5,00 \text{ мин} = 5,00 \cdot 60 \text{ с} = 300 \text{ с}$

$p = 390 \text{ кПа} = 3,90 \cdot 10^5 \text{ Па}$

Найти:

$\langle v_{кв} \rangle$

Решение:

Основное уравнение молекулярно-кинетической теории для идеального газа связывает давление $p$, плотность $\rho$ и среднюю квадратичную скорость теплового движения молекул $\langle v_{кв} \rangle$:

$p = \frac{1}{3} \rho \langle v_{кв} \rangle^2$

Из этого уравнения можно выразить искомую среднюю квадратичную скорость:

$\langle v_{кв} \rangle = \sqrt{\frac{3p}{\rho}}$

Плотность газа $\rho$ определяется как отношение массы газа $m$ к объему $V$, который эта масса занимает:

$\rho = \frac{m}{V}$

Объем газа $V$, прошедшего через поперечное сечение трубы $S$ за время $\Delta t$ со скоростью потока $v_г$, можно рассчитать как объем цилиндра с площадью основания $S$ и высотой $L = v_г \Delta t$:

$V = S \cdot v_г \cdot \Delta t$

Подставим это выражение для объема в формулу для плотности:

$\rho = \frac{m}{S \cdot v_г \cdot \Delta t}$

Теперь подставим полученное выражение для плотности в формулу для средней квадратичной скорости:

$\langle v_{кв} \rangle = \sqrt{\frac{3p}{\frac{m}{S \cdot v_г \cdot \Delta t}}} = \sqrt{\frac{3p S v_г \Delta t}{m}}$

Произведем вычисления, подставив числовые значения в систему СИ:

$\langle v_{кв} \rangle = \sqrt{\frac{3 \cdot 3,90 \cdot 10^5 \text{ Па} \cdot 8,00 \cdot 10^{-4} \text{ м}^2 \cdot 8,50 \frac{\text{м}}{\text{с}} \cdot 300 \text{ с}}{1,90 \text{ кг}}}$

$\langle v_{кв} \rangle = \sqrt{\frac{2386800}{1,90}} \frac{\text{м}}{\text{с}} \approx \sqrt{1256210,5} \frac{\text{м}}{\text{с}} \approx 1120,8 \frac{\text{м}}{\text{с}}$

Округлим полученный результат до трех значащих цифр, в соответствии с точностью исходных данных.

$\langle v_{кв} \rangle \approx 1,12 \cdot 10^3 \frac{\text{м}}{\text{с}}$

Ответ: средняя квадратичная скорость теплового движения молекул равна $1,12 \cdot 10^3 \frac{\text{м}}{\text{с}}$.