Номер 55, страница 14 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

55. Из баллона емкостью $V = 5$ л из-за неисправности вентиля произошла утечка углекислого газа, в результате чего давление понизилось на $|\Delta p| = 2,9$ кПа, а средняя квадратичная скорость теплового движения молекул в баллоне осталась неизменной — $\langle v_{\text{кв}} \rangle = 480 \frac{\text{м}}{\text{с}}$. Сколько молекул углекислого газа вылетело из баллона?

Дано:

$V = 5$ л

$|\Delta p| = 2.9$ кПа

$\langle v_{кв} \rangle = 480$ м/с

Газ - углекислый газ ($CO_2$)

Постоянная Авогадро $N_A = 6.022 \cdot 10^{23}$ моль$^{-1}$

Перевод в систему СИ:
$V = 5 \cdot 10^{-3}$ м$^3$
$\Delta p = 2.9 \cdot 10^3$ Па

Найти:

$\Delta N$ - число вылетевших молекул.

Решение:

Давление идеального газа связано с микроскопическими параметрами через основное уравнение молекулярно-кинетической теории (МКТ):

$p = \frac{1}{3} n m_0 \langle v_{кв}^2 \rangle$

Здесь $n = \frac{N}{V}$ - концентрация молекул, $N$ - общее число молекул, $V$ - объем, $m_0$ - масса одной молекулы, а $\langle v_{кв}^2 \rangle$ - средний квадрат скорости молекул.

Подставив выражение для концентрации, получим зависимость давления от числа молекул:

$p = \frac{N m_0 \langle v_{кв}^2 \rangle}{3V}$

Поскольку объем баллона $V$ и средняя квадратичная скорость молекул $\langle v_{кв} \rangle$ (а значит, и $\langle v_{кв}^2 \rangle$) остаются постоянными, давление газа прямо пропорционально числу молекул в баллоне.

Пусть $N_1$ и $p_1$ - начальное число молекул и давление, а $N_2$ и $p_2$ - конечное. Изменение давления $\Delta p$ в результате утечки равно:

$\Delta p = p_1 - p_2 = \frac{(N_1 - N_2) m_0 \langle v_{кв}^2 \rangle}{3V}$

Величина $N_1 - N_2$ есть искомое число вылетевших молекул $\Delta N$.

$\Delta p = \frac{\Delta N \cdot m_0 \langle v_{кв}^2 \rangle}{3V}$

Отсюда выражаем $\Delta N$:

$\Delta N = \frac{3V \Delta p}{m_0 \langle v_{кв}^2 \rangle}$

Массу одной молекулы $m_0$ углекислого газа ($CO_2$) найдем через молярную массу $M$ и число Авогадро $N_A$: $m_0 = \frac{M}{N_A}$.

Молярная масса $CO_2$ составляет $M = 12 + 2 \cdot 16 = 44$ г/моль, что в СИ равно $M = 44 \cdot 10^{-3}$ кг/моль.

Подставим выражение для $m_0$ в формулу для $\Delta N$:

$\Delta N = \frac{3V \Delta p N_A}{M \langle v_{кв}^2 \rangle}$

Теперь подставим числовые значения в системе СИ:

$\Delta N = \frac{3 \cdot (5 \cdot 10^{-3}) \cdot (2.9 \cdot 10^3) \cdot (6.022 \cdot 10^{23})}{(44 \cdot 10^{-3}) \cdot (480)^2} = \frac{3 \cdot 5 \cdot 2.9 \cdot 6.022 \cdot 10^{23}}{44 \cdot 230400} = \frac{261.957 \cdot 10^{23}}{10137.6} \approx 2.58 \cdot 10^{21}$

Ответ: из баллона вылетело примерно $2.58 \cdot 10^{21}$ молекул углекислого газа.