Номер 50, страница 13 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

50. В пробирке объемом $V = 30 \text{ см}^3$ находится водород, число молекул которого $N = 4,5 \cdot 10^{21}$. Пробирка закрыта пробкой, площадь поперечного сечения которой $S = 3,0 \text{ см}^2$. Вылетит ли пробка из пробирки, если газ нагреть и средняя квадратичная скорость теплового движения молекул станет $\langle v_{\text{кв}} \rangle = 900 \frac{\text{м}}{\text{с}}$? Известно, что пробка вылетает, если на нее действует сила давления газа, модуль которой $F \ge 42 \text{ Н}$.

Дано:

$V = 30 \text{ см}^3$

$N = 4,5 \cdot 10^{21}$

$S = 3,0 \text{ см}^2$

$\langle v_{кв} \rangle = 900 \frac{\text{м}}{\text{с}}$

Условие вылета пробки: $F \ge 42 \text{ Н}$

Газ - водород ($H_2$)

Молярная масса водорода $M_r = 2 \frac{\text{г}}{\text{моль}}$

Постоянная Авогадро $N_A \approx 6,02 \cdot 10^{23} \text{ моль}^{-1}$

Перевод в систему СИ:

$V = 30 \text{ см}^3 = 30 \cdot (10^{-2} \text{ м})^3 = 30 \cdot 10^{-6} \text{ м}^3 = 3 \cdot 10^{-5} \text{ м}^3$

$S = 3,0 \text{ см}^2 = 3,0 \cdot (10^{-2} \text{ м})^2 = 3,0 \cdot 10^{-4} \text{ м}^2$

$M_r = 2 \frac{\text{г}}{\text{моль}} = 2 \cdot 10^{-3} \frac{\text{кг}}{\text{моль}}$

Найти:

Вылетит ли пробка из пробирки?

Решение:

Для того чтобы определить, вылетит ли пробка, необходимо рассчитать силу давления газа на нее и сравнить с минимальной силой, при которой пробка вылетает ($F_{крит} = 42 \text{ Н}$).

Сила давления газа $F$ на пробку определяется по формуле:

$F = p \cdot S$, где $p$ — давление газа, а $S$ — площадь поперечного сечения пробки.

Давление газа можно найти, используя основное уравнение молекулярно-кинетической теории:

$p = \frac{1}{3} n m_0 \langle v_{кв} \rangle^2$

Здесь $n$ — концентрация молекул, $m_0$ — масса одной молекулы, $\langle v_{кв} \rangle$ — средняя квадратичная скорость теплового движения молекул.

1. Найдем массу одной молекулы водорода ($H_2$). Она равна отношению молярной массы $M_r$ к числу Авогадро $N_A$:

$m_0 = \frac{M_r}{N_A} = \frac{2 \cdot 10^{-3} \frac{\text{кг}}{\text{моль}}}{6,02 \cdot 10^{23} \text{ моль}^{-1}} \approx 3,32 \cdot 10^{-27} \text{ кг}$

2. Рассчитаем концентрацию молекул водорода в пробирке. Концентрация — это число молекул $N$ в единице объема $V$:

$n = \frac{N}{V} = \frac{4,5 \cdot 10^{21}}{3 \cdot 10^{-5} \text{ м}^3} = 1,5 \cdot 10^{26} \text{ м}^{-3}$

3. Теперь можем рассчитать давление газа в пробирке:

$p = \frac{1}{3} \cdot (1,5 \cdot 10^{26} \text{ м}^{-3}) \cdot (3,32 \cdot 10^{-27} \text{ кг}) \cdot (900 \frac{\text{м}}{\text{с}})^2$

$p = \frac{1}{3} \cdot 1,5 \cdot 10^{26} \cdot 3,32 \cdot 10^{-27} \cdot 810000 \approx 1,345 \cdot 10^5 \text{ Па}$

4. Наконец, найдем силу, с которой газ давит на пробку:

$F = p \cdot S \approx (1,345 \cdot 10^5 \text{ Па}) \cdot (3,0 \cdot 10^{-4} \text{ м}^2) = 40,35 \text{ Н}$

5. Сравним полученную силу с критической силой $F_{крит} = 42 \text{ Н}$:

$40,35 \text{ Н} < 42 \text{ Н}$

Так как сила давления газа на пробку меньше, чем сила, необходимая для ее вылета, пробка не вылетит.

Ответ: пробка не вылетит.