Номер 43, страница 12 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

43. Изменится ли давление идеального газа в сосуде, если концентрация его молекул увеличится в $\alpha = 1,5$ раза, а средняя квадратичная скорость теплового движения молекул уменьшится в $\beta = 1,5$ раза?

Дано:

Отношение конечной концентрации к начальной: $\frac{n_2}{n_1} = \alpha = 1.5$
Отношение начальной среднеквадратичной скорости к конечной: $\frac{v_1}{v_2} = \beta = 1.5$

Найти:

$\frac{p_2}{p_1}$ - ?

Решение:

Давление идеального газа связано с концентрацией его молекул и среднеквадратичной скоростью их движения основным уравнением молекулярно-кинетической теории:$p = \frac{1}{3} m_0 n \langle v^2 \rangle$, где $p$ – давление газа, $m_0$ – масса одной молекулы, $n$ – концентрация молекул, $\langle v^2 \rangle$ – средний квадрат скорости молекул.

Среднеквадратичная скорость $v_{кв}$ связана со средним квадратом скорости соотношением $v_{кв} = \sqrt{\langle v^2 \rangle}$, следовательно $\langle v^2 \rangle = v_{кв}^2$.Тогда уравнение можно переписать в виде:$p = \frac{1}{3} m_0 n v_{кв}^2$

Запишем это уравнение для начального и конечного состояний газа.Начальное давление: $p_1 = \frac{1}{3} m_0 n_1 v_{1}^2$Конечное давление: $p_2 = \frac{1}{3} m_0 n_2 v_{2}^2$

По условию задачи, конечная концентрация $n_2 = \alpha \cdot n_1 = 1.5 \cdot n_1$, а конечная скорость $v_2 = \frac{v_1}{\beta} = \frac{v_1}{1.5}$.

Подставим эти выражения в формулу для конечного давления $p_2$:$p_2 = \frac{1}{3} m_0 (\alpha \cdot n_1) (\frac{v_1}{\beta})^2 = \frac{1}{3} m_0 \alpha n_1 \frac{v_1^2}{\beta^2}$

Перегруппируем множители, чтобы выделить выражение для начального давления $p_1$:$p_2 = \frac{\alpha}{\beta^2} \left( \frac{1}{3} m_0 n_1 v_1^2 \right) = \frac{\alpha}{\beta^2} p_1$

Найдем отношение конечного давления к начальному:$\frac{p_2}{p_1} = \frac{\alpha}{\beta^2}$

Подставим числовые значения $\alpha = 1.5$ и $\beta = 1.5$:$\frac{p_2}{p_1} = \frac{1.5}{1.5^2} = \frac{1.5}{2.25} = \frac{1}{1.5} = \frac{2}{3}$

Так как отношение $\frac{p_2}{p_1}$ не равно единице, давление изменится. Оно уменьшится в 1,5 раза.

Ответ: Давление идеального газа изменится, оно уменьшится в 1,5 раза.