Номер 44, страница 12 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

44. Определите массу идеального газа, содержащегося в сосуде вместимостью $V=5$ л, если давление газа $p=1 \cdot 10^5$ Па, а средняя квадратичная скорость поступательного движения его молекул $\langle v_{\text{кв}}\rangle=500 \frac{\text{М}}{\text{с}}$.

Дано:

$V = 5 \text{ л}$

$p = 1 \cdot 10^5 \text{ Па}$

$\langle v_{кв} \rangle = 500 \frac{\text{м}}{\text{с}}$

$V = 5 \text{ л} = 5 \cdot 10^{-3} \text{ м}^3$

Найти:

$m$ — ?

Решение:

Для решения задачи воспользуемся основным уравнением молекулярно-кинетической теории идеального газа, которое связывает макроскопические параметры газа (давление) с микроскопическими (масса и скорость молекул):

$p = \frac{1}{3} n m_0 \langle v^2 \rangle$

где $p$ — давление газа, $n$ — концентрация молекул ($n = \frac{N}{V}$, где $N$ — число молекул, а $V$ — объем), $m_0$ — масса одной молекулы, а $\langle v^2 \rangle$ — средний квадрат скорости молекул.

Средняя квадратичная скорость $\langle v_{кв} \rangle$ (в условии обозначена как $\langle v_{кв} \rangle$) связана со средним квадратом скорости соотношением $\langle v_{кв} \rangle = \sqrt{\langle v^2 \rangle}$, следовательно $\langle v^2 \rangle = \langle v_{кв} \rangle^2$.

Подставим выражение для концентрации в основное уравнение:

$p = \frac{1}{3} \frac{N}{V} m_0 \langle v_{кв} \rangle^2$

Общая масса газа $m$ равна произведению числа молекул $N$ на массу одной молекулы $m_0$, то есть $m = N \cdot m_0$. Заменим произведение $N m_0$ на $m$ в уравнении:

$p = \frac{1}{3} \frac{m}{V} \langle v_{кв} \rangle^2$

Из этого уравнения выразим искомую массу газа $m$:

$3 p V = m \langle v_{кв} \rangle^2$

$m = \frac{3 p V}{\langle v_{кв} \rangle^2}$

Теперь подставим числовые значения из условия, предварительно переведя их в систему СИ:

$m = \frac{3 \cdot 1 \cdot 10^5 \text{ Па} \cdot 5 \cdot 10^{-3} \text{ м}^3}{(500 \frac{\text{м}}{\text{с}})^2} = \frac{15 \cdot 10^2 \text{ Дж}}{250000 \frac{\text{м}^2}{\text{с}^2}} = \frac{1500}{250000} \text{ кг} = 0.006 \text{ кг}$

Переведем массу в граммы для удобства:

$0.006 \text{ кг} = 6 \text{ г}$

Ответ: масса идеального газа равна 6 г.