Номер 49, страница 13 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

49. В цилиндрических сосудах (рис. 2) находятся кислород O₂ и водород H₂, количество вещества которых одинаково. Определите отношение давления водорода к давлению кислорода, если отношение средних квадратичных скоростей теплового движения их молекул $\frac{\langle v_{\text{кв}} \rangle_{\text{H}_2}}{\langle v_{\text{кв}} \rangle_{\text{O}_2}} = 4.$

Рис. 2

Дано:

Газы: кислород ($O_2$) и водород ($H_2$)

Количество вещества одинаково: $ν_{O_2} = ν_{H_2} = ν$

Отношение средних квадратичных скоростей: $\frac{\langle v_{кв} \rangle_{H_2}}{\langle v_{кв} \rangle_{O_2}} = 4$

Из рисунка 2 определим отношение объемов сосудов. Сосуды цилиндрические, их объем вычисляется по формуле $V = \pi R^2 h$, где $R$ - радиус основания, $h$ - высота. Диаметр $D = 2R$. Тогда $V = \frac{\pi D^2}{4} h$.

Примем сторону одной клетки на сетке за условную единицу длины $a$.

Для сосуда с кислородом ($O_2$): диаметр $D_{O_2} = 4a$, высота $h_{O_2} = 3a$.

Объем $V_{O_2} = \frac{\pi (4a)^2}{4} (3a) = \frac{16\pi a^2}{4} (3a) = 4\pi a^2 (3a) = 12\pi a^3$.

Для сосуда с водородом ($H_2$): диаметр $D_{H_2} = 2a$, высота $h_{H_2} = 4a$.

Объем $V_{H_2} = \frac{\pi (2a)^2}{4} (4a) = \frac{4\pi a^2}{4} (4a) = \pi a^2 (4a) = 4\pi a^3$.

Отношение объемов: $\frac{V_{O_2}}{V_{H_2}} = \frac{12\pi a^3}{4\pi a^3} = 3$.

Молярные массы (из таблицы Менделеева):

$M_{O_2} = 32 \times 10^{-3}$ кг/моль

$M_{H_2} = 2 \times 10^{-3}$ кг/моль

Найти:

$\frac{P_{H_2}}{P_{O_2}}$

Решение:

Давление идеального газа можно выразить через основное уравнение молекулярно-кинетической теории:

$P = \frac{1}{3} n m_0 \langle v_{кв}^2 \rangle$,

где $n$ — концентрация молекул, $m_0$ — масса одной молекулы, $\langle v_{кв}^2 \rangle$ — средний квадрат скорости теплового движения молекул.

Запишем это уравнение для водорода и кислорода:

$P_{H_2} = \frac{1}{3} n_{H_2} m_{0, H_2} \langle v_{кв}^2 \rangle_{H_2}$

$P_{O_2} = \frac{1}{3} n_{O_2} m_{0, O_2} \langle v_{кв}^2 \rangle_{O_2}$

Чтобы найти искомое отношение давлений $\frac{P_{H_2}}{P_{O_2}}$, разделим первое уравнение на второе:

$\frac{P_{H_2}}{P_{O_2}} = \frac{\frac{1}{3} n_{H_2} m_{0, H_2} \langle v_{кв}^2 \rangle_{H_2}}{\frac{1}{3} n_{O_2} m_{0, O_2} \langle v_{кв}^2 \rangle_{O_2}} = \frac{n_{H_2}}{n_{O_2}} \cdot \frac{m_{0, H_2}}{m_{0, O_2}} \cdot \frac{\langle v_{кв}^2 \rangle_{H_2}}{\langle v_{кв}^2 \rangle_{O_2}}$

Вычислим каждое из трех отношений в правой части уравнения.

1. Отношение концентраций $\frac{n_{H_2}}{n_{O_2}}$

Концентрация — это число молекул $N$ в единице объема $V$: $n = \frac{N}{V}$.

Число молекул $N$ связано с количеством вещества $ν$ и числом Авогадро $N_A$ формулой $N = ν \cdot N_A$.

По условию задачи, $ν_{H_2} = ν_{O_2}$, следовательно, и число молекул в сосудах одинаково: $N_{H_2} = N_{O_2}$.

Тогда отношение концентраций равно обратному отношению объемов:

$\frac{n_{H_2}}{n_{O_2}} = \frac{N_{H_2}/V_{H_2}}{N_{O_2}/V_{O_2}} = \frac{N_{H_2}}{N_{O_2}} \cdot \frac{V_{O_2}}{V_{H_2}} = 1 \cdot \frac{V_{O_2}}{V_{H_2}} = 3$

2. Отношение масс молекул $\frac{m_{0, H_2}}{m_{0, O_2}}$

Масса одной молекулы $m_0$ связана с молярной массой $M$ и числом Авогадро $N_A$ соотношением $m_0 = \frac{M}{N_A}$.

Отношение масс молекул равно отношению их молярных масс:

$\frac{m_{0, H_2}}{m_{0, O_2}} = \frac{M_{H_2}/N_A}{M_{O_2}/N_A} = \frac{M_{H_2}}{M_{O_2}} = \frac{2 \times 10^{-3}}{32 \times 10^{-3}} = \frac{2}{32} = \frac{1}{16}$

3. Отношение средних квадратов скоростей $\frac{\langle v_{кв}^2 \rangle_{H_2}}{\langle v_{кв}^2 \rangle_{O_2}}$

По условию, отношение средних квадратичных скоростей $\frac{\langle v_{кв} \rangle_{H_2}}{\langle v_{кв} \rangle_{O_2}} = 4$.

Тогда отношение средних квадратов скоростей будет:

$\frac{\langle v_{кв}^2 \rangle_{H_2}}{\langle v_{кв}^2 \rangle_{O_2}} = \left( \frac{\langle v_{кв} \rangle_{H_2}}{\langle v_{кв} \rangle_{O_2}} \right)^2 = 4^2 = 16$

Теперь подставим найденные значения всех трех отношений в формулу для отношения давлений:

$\frac{P_{H_2}}{P_{O_2}} = 3 \cdot \frac{1}{16} \cdot 16 = 3$

Ответ: Отношение давления водорода к давлению кислорода равно 3.