Номер 56, страница 15 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

56. Идеальный газ, находящийся в сосуде под поршнем, нагрели и одновременно уменьшили его объем. В результате этого давление газа увеличилось в $\alpha = 2,7$ раза, а плотность — в $\beta = 1,2$ раза. Во сколько раз увеличилась средняя квадратичная скорость поступательного движения молекул газа?

Дано:

Отношение конечного давления к начальному: $ \frac{p_2}{p_1} = \alpha = 2,7 $

Отношение конечной плотности к начальной: $ \frac{\rho_2}{\rho_1} = \beta = 1,2 $

Найти:

Во сколько раз увеличилась средняя квадратичная скорость: $ \frac{v_{кв2}}{v_{кв1}} $

Решение:

Основное уравнение молекулярно-кинетической теории идеального газа связывает давление $p$, плотность $ \rho $ и среднюю квадратичную скорость $ v_{кв} $ поступательного движения молекул:

$ p = \frac{1}{3} \rho v_{кв}^2 $

Из этого уравнения можно выразить квадрат средней квадратичной скорости:

$ v_{кв}^2 = \frac{3p}{\rho} $

Запишем это выражение для начального (с индексом 1) и конечного (с индексом 2) состояний газа:

$ v_{кв1}^2 = \frac{3p_1}{\rho_1} $

$ v_{кв2}^2 = \frac{3p_2}{\rho_2} $

Чтобы найти, во сколько раз изменилась скорость, найдем отношение квадратов скоростей, разделив второе выражение на первое:

$ \frac{v_{кв2}^2}{v_{кв1}^2} = \frac{\frac{3p_2}{\rho_2}}{\frac{3p_1}{\rho_1}} = \frac{p_2}{p_1} \cdot \frac{\rho_1}{\rho_2} = \frac{p_2/p_1}{\rho_2/\rho_1} $

Согласно условию задачи, $ \frac{p_2}{p_1} = \alpha $ и $ \frac{\rho_2}{\rho_1} = \beta $. Подставим эти значения в полученную формулу:

$ \frac{v_{кв2}^2}{v_{кв1}^2} = \frac{\alpha}{\beta} $

Теперь найдем искомое отношение скоростей, извлекая квадратный корень из обеих частей равенства:

$ \frac{v_{кв2}}{v_{кв1}} = \sqrt{\frac{\alpha}{\beta}} $

Подставим числовые значения $ \alpha = 2,7 $ и $ \beta = 1,2 $:

$ \frac{v_{кв2}}{v_{кв1}} = \sqrt{\frac{2,7}{1,2}} = \sqrt{\frac{27}{12}} = \sqrt{\frac{9}{4}} = \frac{3}{2} = 1,5 $

Ответ: средняя квадратичная скорость поступательного движения молекул газа увеличилась в 1,5 раза.