Номер 53, страница 14 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

53. В сосуде объемом $V = 0,50 \text{ л}$ находится кислород, давление которого $p = 5,0 \cdot 10^5 \text{ Па}$. Масса кислорода $m = 3,0 \text{ г}$. Определите модуль изменения импульса молекулы кислорода за время ее упругого удара о стенку сосуда. Импульс молекулы направлен перпендикулярно стенке.

Дано:

Объем сосуда $V = 0,50$ л

Давление кислорода $p = 5,0 \cdot 10^5$ Па

Масса кислорода $m = 3,0$ г

Газ - кислород ($O_2$)

$V = 0,50 \text{ л} = 0,50 \cdot 10^{-3} \text{ м}^3 = 5,0 \cdot 10^{-4} \text{ м}^3$

$m = 3,0 \text{ г} = 3,0 \cdot 10^{-3} \text{ кг}$

Молярная масса кислорода $M(O_2) = 32 \cdot 10^{-3}$ кг/моль

Число Авогадро $N_A \approx 6,02 \cdot 10^{23}$ моль$^{-1}$

Найти:

Модуль изменения импульса молекулы $|\Delta p_{мол}|$

Решение:

По условию, импульс молекулы направлен перпендикулярно стенке, и удар является упругим. Это означает, что после удара о стенку модуль скорости молекулы остается прежним, а направление меняется на противоположное. Пусть $v_x$ - это скорость молекулы перпендикулярно стенке. Тогда ее импульс до удара равен $p_1 = m_0 v_x$, а после удара $p_2 = -m_0 v_x$, где $m_0$ - масса одной молекулы. Модуль изменения импульса равен:

$|\Delta p_{мол}| = |p_2 - p_1| = |-m_0 v_x - m_0 v_x| = |-2m_0 v_x| = 2m_0 v_x$

Так как речь идет о газе, состоящем из множества молекул, в качестве скорости $v_x$ следует использовать характерную скорость для всего ансамбля молекул, а именно среднеквадратичную скорость молекул в направлении оси $x$, перпендикулярной стенке.

Основное уравнение молекулярно-кинетической теории газов связывает давление $p$ со средней кинетической энергией молекул:

$p = \frac{1}{3} n m_0 \overline{v^2}$

где $n = N/V$ - концентрация молекул, $N$ - общее число молекул, $V$ - объем газа, а $\overline{v^2}$ - средний квадрат скорости. Общая масса газа $m = N m_0$. Подставив эти выражения, получим:

$p = \frac{1}{3} \frac{N m_0}{V} \overline{v^2} = \frac{1}{3} \frac{m}{V} \overline{v^2}$

Отсюда можно выразить средний квадрат скорости:

$\overline{v^2} = \frac{3pV}{m}$

Движение молекул в газе хаотично, поэтому можно считать, что движение по всем направлениям равновероятно: $\overline{v_x^2} = \overline{v_y^2} = \overline{v_z^2}$. Так как полный средний квадрат скорости связан с компонентами соотношением $\overline{v^2} = \overline{v_x^2} + \overline{v_y^2} + \overline{v_z^2}$, то $\overline{v^2} = 3\overline{v_x^2}$.

Следовательно, средний квадрат компоненты скорости, перпендикулярной стенке, равен:

$\overline{v_x^2} = \frac{1}{3} \overline{v^2} = \frac{1}{3} \frac{3pV}{m} = \frac{pV}{m}$

Среднеквадратичная скорость по оси $x$ будет $v_{x, \text{кв}} = \sqrt{\overline{v_x^2}} = \sqrt{\frac{pV}{m}}$.

Массу одной молекулы кислорода $m_0$ найдем через молярную массу $M$ и число Авогадро $N_A$:

$m_0 = \frac{M}{N_A}$

Подставим все найденные выражения в формулу для изменения импульса:

$|\Delta p_{мол}| = 2 m_0 v_{x, \text{кв}} = 2 \frac{M}{N_A} \sqrt{\frac{pV}{m}}$

Произведем вычисления, подставляя числовые значения:

$|\Delta p_{мол}| = 2 \cdot \frac{32 \cdot 10^{-3} \text{ кг/моль}}{6,02 \cdot 10^{23} \text{ моль}^{-1}} \cdot \sqrt{\frac{5,0 \cdot 10^5 \text{ Па} \cdot 5,0 \cdot 10^{-4} \text{ м}^3}{3,0 \cdot 10^{-3} \text{ кг}}}$

$|\Delta p_{мол}| \approx 2 \cdot 5,32 \cdot 10^{-26} \text{ кг} \cdot \sqrt{\frac{250}{3,0 \cdot 10^{-3}} \frac{\text{м}^2}{\text{с}^2}} \approx 10,64 \cdot 10^{-26} \text{ кг} \cdot \sqrt{83333,3...} \frac{\text{м}}{\text{с}}$

$|\Delta p_{мол}| \approx 10,64 \cdot 10^{-26} \text{ кг} \cdot 288,7 \frac{\text{м}}{\text{с}} \approx 3072 \cdot 10^{-26} \text{ кг} \cdot \frac{\text{м}}{\text{с}} \approx 3,07 \cdot 10^{-23} \text{ кг} \cdot \frac{\text{м}}{\text{с}}$

Округляя результат до двух значащих цифр, в соответствии с данными задачи, получаем:

$|\Delta p_{мол}| \approx 3,1 \cdot 10^{-23} \text{ кг} \cdot \frac{\text{м}}{\text{с}}$

Ответ: $3,1 \cdot 10^{-23} \text{ кг} \cdot \text{м/с}$.