Номер 58, страница 15 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

58. В двух сосудах, соединенных трубкой с краном, находится углекислый газ. Давление газа в первом сосуде $p_1$, а число молекул $N_1$. Давление газа во втором сосуде $p_2$, а число молекул $N_2$. Определите давление, установившееся в сосудах после открытия крана. Средняя квадратичная скорость теплового движения молекул газа в сосудах до и после открытия крана одинакова.

Дано:

Давление в первом сосуде: $p_1$

Число молекул в первом сосуде: $N_1$

Давление во втором сосуде: $p_2$

Число молекул во втором сосуде: $N_2$

Средняя квадратичная скорость молекул $v_{кв}$ до и после открытия крана одинакова.

Найти:

Установившееся давление $p$.

Решение:

Средняя кинетическая энергия теплового движения молекул газа связана с его абсолютной температурой $T$ соотношением $E_k = \frac{3}{2}kT$, где $k$ – постоянная Больцмана. Также средняя кинетическая энергия выражается через среднюю квадратичную скорость $v_{кв}$ как $E_k = \frac{m_0 v_{кв}^2}{2}$, где $m_0$ – масса одной молекулы. Таким образом, $ \frac{m_0 v_{кв}^2}{2} = \frac{3}{2}kT$.

Поскольку по условию задачи средняя квадратичная скорость молекул до и после открытия крана одинакова, это означает, что температура газа в сосудах не изменяется. Следовательно, процесс смешивания газов является изотермическим, и температура в обоих сосудах до и после установления равновесия одинакова и равна $T$.

Запишем уравнение состояния идеального газа для каждого сосуда до открытия крана:

Для первого сосуда объемом $V_1$:

$p_1 V_1 = N_1 k T$

Для второго сосуда объемом $V_2$:

$p_2 V_2 = N_2 k T$

Из этих уравнений выразим объемы сосудов:

$V_1 = \frac{N_1 k T}{p_1}$

$V_2 = \frac{N_2 k T}{p_2}$

После открытия крана газ из обоих сосудов смешивается и занимает общий объем $V = V_1 + V_2$. Общее число молекул в системе становится равным $N = N_1 + N_2$. Пусть установившееся давление равно $p$. Уравнение состояния для всей системы после открытия крана имеет вид:

$p V = N k T$

Подставим в это уравнение выражения для общего объема $V$ и общего числа молекул $N$:

$p (V_1 + V_2) = (N_1 + N_2) k T$

Теперь подставим выражения для объемов $V_1$ и $V_2$, найденные из начальных условий:

$p \left( \frac{N_1 k T}{p_1} + \frac{N_2 k T}{p_2} \right) = (N_1 + N_2) k T$

Поскольку температура $T$ и постоянная Больцмана $k$ не равны нулю, мы можем сократить обе части уравнения на $kT$:

$p \left( \frac{N_1}{p_1} + \frac{N_2}{p_2} \right) = N_1 + N_2$

Выразим из полученного уравнения искомое давление $p$:

$p = \frac{N_1 + N_2}{\frac{N_1}{p_1} + \frac{N_2}{p_2}}$

Для удобства можно привести знаменатель к общему и упростить выражение:

$p = \frac{N_1 + N_2}{\frac{N_1 p_2 + N_2 p_1}{p_1 p_2}} = \frac{(N_1 + N_2) p_1 p_2}{N_1 p_2 + N_2 p_1}$

Ответ: $p = \frac{(N_1 + N_2) p_1 p_2}{N_1 p_2 + N_2 p_1}$.