Номер 51, страница 14 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

51. Определите число молекул кислорода, находящегося в баллоне объемом $V = 1,0 \text{ м}^3$, если давление газа $p = 77 \text{ кПа}$, а средняя квадратичная скорость теплового движения его молекул $\langle v_{\text{кв}}\rangle = 400 \frac{\text{М}}{\text{с}}$.

Дано:

Газ - кислород ($O_2$)
Объем, $V = 1,0 \text{ м}^3$
Давление, $p = 77 \text{ кПа}$
Средняя квадратичная скорость, $\langle v_{\text{кв}} \rangle = 400 \frac{\text{м}}{\text{с}}$

$p = 77 \text{ кПа} = 77 \times 10^3 \text{ Па}$

Найти:

Число молекул, $N - ?$

Решение:

Для решения задачи воспользуемся основным уравнением молекулярно-кинетической теории газов, которое связывает давление газа с его микроскопическими параметрами:

$p = \frac{1}{3} n m_0 \langle v^2 \rangle$

где $p$ – давление газа, $n$ – концентрация молекул, $m_0$ – масса одной молекулы, а $\langle v^2 \rangle$ – средний квадрат скорости движения молекул.

Концентрация молекул $n$ определяется как отношение числа молекул $N$ к объему $V$, который они занимают: $n = \frac{N}{V}$.

Средняя квадратичная скорость $\langle v_{\text{кв}} \rangle$, данная в условии, связана со средним квадратом скорости соотношением: $\langle v^2 \rangle = \langle v_{\text{кв}} \rangle^2$.

Подставим эти выражения в основное уравнение МКТ:

$p = \frac{1}{3} \frac{N}{V} m_0 \langle v_{\text{кв}} \rangle^2$

Выразим из этой формулы искомое число молекул $N$:

$N = \frac{3pV}{m_0 \langle v_{\text{кв}} \rangle^2}$

Массу одной молекулы кислорода $m_0$ найдем через молярную массу кислорода $M(O_2)$ и число Авогадро $N_A$. Молярная масса кислорода ($O_2$) равна $M(O_2) = 32 \times 10^{-3} \frac{\text{кг}}{\text{моль}}$. Число Авогадро $N_A \approx 6,02 \times 10^{23} \text{ моль}^{-1}$.

$m_0 = \frac{M(O_2)}{N_A} = \frac{32 \times 10^{-3} \frac{\text{кг}}{\text{моль}}}{6,02 \times 10^{23} \text{ моль}^{-1}} \approx 5,32 \times 10^{-26} \text{ кг}$

Теперь подставим все известные значения в формулу для $N$ и произведем расчет:

$N = \frac{3 \cdot 77 \cdot 10^3 \text{ Па} \cdot 1,0 \text{ м}^3}{5,32 \cdot 10^{-26} \text{ кг} \cdot (400 \frac{\text{м}}{\text{с}})^2} = \frac{231 \cdot 10^3}{5,32 \cdot 10^{-26} \cdot 16 \cdot 10^4} = \frac{2,31 \cdot 10^5}{85,12 \cdot 10^{-22}} \approx 2,71 \cdot 10^{25}$

Ответ: $N \approx 2,71 \times 10^{25}$.