Номер 54, страница 14 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

54. В сосуде объемом $V = 1,0 \text{ дм}^3$ содержится гелий, количество вещества которого $v = 1,0 \text{ моль}$. На сколько понизится давление газа в сосуде, если вследствие утечки из сосуда выйдет $\alpha = 30 \%$ атомов? Средняя квадратичная скорость теплового движения атомов гелия $\langle v_{\text{кв}} \rangle = 1,4 \frac{\text{ км}}{\text{с}}$, и она остается постоянной.

Дано

$V = 1,0 \text{ дм}^3 = 1,0 \cdot 10^{-3} \text{ м}^3$

$\nu_1 = 1,0 \text{ моль}$

$\alpha = 30 \% = 0,30$

$\langle v_{кв} \rangle = 1,4 \frac{\text{км}}{\text{с}} = 1,4 \cdot 10^3 \frac{\text{м}}{\text{с}}$

Молярная масса гелия $M(\text{He}) \approx 4,0 \cdot 10^{-3} \frac{\text{кг}}{\text{моль}}$

Найти:

$\Delta p$

Решение

Давление идеального газа можно выразить через основное уравнение молекулярно-кинетической теории:

$p = \frac{1}{3} n m_0 \langle v_{кв}^2 \rangle$,

где $n$ – концентрация атомов, $m_0$ – масса одного атома, а $\langle v_{кв}^2 \rangle$ – средний квадрат скорости теплового движения атомов. По условию, средняя квадратичная скорость $\langle v_{кв} \rangle$ остается постоянной, следовательно, $\langle v_{кв}^2 \rangle$ также постоянна.

Концентрацию атомов $n$ можно выразить через количество вещества $\nu$, объем $V$ и постоянную Авогадро $N_A$ как $n = \frac{\nu N_A}{V}$. Массу одного атома $m_0$ выразим через молярную массу $M$ как $m_0 = \frac{M}{N_A}$.

Подставим эти выражения в формулу для давления:

$p = \frac{1}{3} \left( \frac{\nu N_A}{V} \right) \left( \frac{M}{N_A} \right) \langle v_{кв}^2 \rangle = \frac{1}{3} \frac{\nu M}{V} \langle v_{кв}^2 \rangle$.

Начальное давление газа в сосуде $p_1$ при количестве вещества $\nu_1$ равно:

$p_1 = \frac{1}{3} \frac{\nu_1 M}{V} \langle v_{кв}^2 \rangle$.

После утечки из сосуда вышло $\alpha = 30 \%$ атомов, значит, количество вещества гелия в сосуде уменьшилось на 30 %. Конечное количество вещества $\nu_2$ составляет:

$\nu_2 = \nu_1 - \alpha \nu_1 = \nu_1(1 - \alpha)$.

Так как объем $V$ и средняя квадратичная скорость $\langle v_{кв} \rangle$ не изменились, конечное давление $p_2$ будет равно:

$p_2 = \frac{1}{3} \frac{\nu_2 M}{V} \langle v_{кв}^2 \rangle = \frac{1}{3} \frac{\nu_1(1 - \alpha) M}{V} \langle v_{кв}^2 \rangle = p_1(1 - \alpha)$.

Понижение давления $\Delta p$ – это разность между начальным и конечным давлениями:

$\Delta p = p_1 - p_2 = p_1 - p_1(1 - \alpha) = p_1 - p_1 + \alpha p_1 = \alpha p_1$.

Теперь рассчитаем начальное давление $p_1$:

$p_1 = \frac{1}{3} \frac{1,0 \text{ моль} \cdot 4,0 \cdot 10^{-3} \frac{\text{кг}}{\text{моль}}}{1,0 \cdot 10^{-3} \text{ м}^3} \cdot (1,4 \cdot 10^3 \frac{\text{м}}{\text{с}})^2$

$p_1 = \frac{1}{3} \cdot \frac{4,0 \cdot 10^{-3}}{1,0 \cdot 10^{-3}} \cdot 1,96 \cdot 10^6 \text{ Па} = \frac{1}{3} \cdot 4,0 \cdot 1,96 \cdot 10^6 \text{ Па} = \frac{7,84}{3} \cdot 10^6 \text{ Па} \approx 2,613 \cdot 10^6 \text{ Па}$.

Найдем, на сколько понизилось давление:

$\Delta p = \alpha p_1 = 0,30 \cdot \frac{7,84}{3} \cdot 10^6 \text{ Па} = 0,10 \cdot 7,84 \cdot 10^6 \text{ Па} = 0,784 \cdot 10^6 \text{ Па}$.

Округлим результат до двух значащих цифр, так как исходные данные имеют такую точность:

$\Delta p \approx 0,78 \cdot 10^6 \text{ Па} = 7,8 \cdot 10^5 \text{ Па} = 780 \text{ кПа}$.

Ответ: давление в сосуде понизится на $7,8 \cdot 10^5 \text{ Па}$ (или $780 \text{ кПа}$).