Номер 60, страница 15 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

60. В вертикально расположенном цилиндре, закрытом сверху легкоподвижным поршнем массой $m = 2,0 \text{ кг}$ и площадью поперечного сечения $S = 2,0 \text{ см}^2$, находится идеальный газ. Объем газа $V_0 = 45 \text{ см}^3$. Каким станет объем газа, если цилиндр перемещать вертикально вверх с ускорением, модуль которого $a = 5,0 \frac{\text{M}}{\text{c}^2}$, направленным вверх? Атмосферное давление $p_0 = 100 \text{ кПа}$. Средняя квадратичная скорость теплового движения молекул газа остается постоянной.

Дано:

$m = 2,0 \text{ кг}$

$S = 2,0 \text{ см}^2$

$V_0 = 45 \text{ см}^3$

$a = 5,0 \frac{\text{м}}{\text{с}^2}$

$p_0 = 100 \text{ кПа}$

Средняя квадратичная скорость молекул постоянна.

Перевод в систему СИ:

$S = 2,0 \times 10^{-4} \text{ м}^2$

$V_0 = 45 \times 10^{-6} \text{ м}^3$

$p_0 = 100 \times 10^3 \text{ Па} = 10^5 \text{ Па}$

Примем ускорение свободного падения $g = 10 \frac{\text{м}}{\text{с}^2}$.

Найти:

$V$ — конечный объем газа.

Решение:

Поскольку средняя квадратичная скорость теплового движения молекул газа остается постоянной, это означает, что температура газа $T$ в процессе не изменяется ($T = \text{const}$). Это следует из прямой пропорциональности между средней кинетической энергией молекул и абсолютной температурой: $\frac{m_{мол}\langle v^2 \rangle}{2} = \frac{3}{2}kT$.

Следовательно, процесс, происходящий с газом, является изотермическим. Для такого процесса справедлив закон Бойля-Мариотта:

$p_1 V_0 = p_2 V$

где $p_1$ и $V_0$ – начальные давление и объем газа, а $p_2$ и $V$ – конечные давление и объем газа.

Найдем начальное давление газа $p_1$. Когда цилиндр покоится, поршень находится в равновесии. Силы, действующие на поршень по вертикали: сила давления газа $p_1 S$ (вверх), сила тяжести $mg$ (вниз) и сила атмосферного давления $p_0 S$ (вниз).

Из условия равновесия поршня:

$p_1 S = p_0 S + mg$

Отсюда начальное давление газа:

$p_1 = p_0 + \frac{mg}{S}$

Вычислим $p_1$:

$p_1 = 10^5 \text{ Па} + \frac{2,0 \text{ кг} \cdot 10 \frac{\text{м}}{\text{с}^2}}{2,0 \times 10^{-4} \text{ м}^2} = 10^5 \text{ Па} + 10^5 \text{ Па} = 2,0 \times 10^5 \text{ Па}$

Найдем конечное давление газа $p_2$. Когда цилиндр движется с ускорением $a$, направленным вверх, поршень также движется с этим ускорением. Запишем второй закон Ньютона для поршня в проекции на вертикальную ось, направленную вверх:

$p_2 S - p_0 S - mg = ma$

Отсюда выразим конечное давление $p_2$:

$p_2 S = p_0 S + mg + ma \implies p_2 = p_0 + \frac{m(g+a)}{S}$

Вычислим $p_2$:

$p_2 = 10^5 \text{ Па} + \frac{2,0 \text{ кг} \cdot (10 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} + 5,0 \frac{\text{м}}{\text{с}^2})}{2,0 \times 10^{-4} \text{ м}^2} = 10^5 \text{ Па} + \frac{2,0 \cdot 15}{2,0 \times 10^{-4}} \text{ Па} = 10^5 \text{ Па} + 1,5 \times 10^5 \text{ Па} = 2,5 \times 10^5 \text{ Па}$

Теперь из закона Бойля-Мариотта найдем конечный объем $V$:

$V = V_0 \frac{p_1}{p_2}$

Подставим числовые значения. Удобнее оставить объем в $\text{см}^3$, так как отношение давлений — безразмерная величина.

$V = 45 \text{ см}^3 \cdot \frac{2,0 \times 10^5 \text{ Па}}{2,5 \times 10^5 \text{ Па}} = 45 \cdot \frac{2,0}{2,5} = 45 \cdot 0,8 = 36 \text{ см}^3$

Ответ: 36 см³.