Номер 59, страница 15 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

59. В двух сосудах содержалось одинаковое число молекул азота. В одном из сосудов средняя квадратичная скорость теплового движения молекул $\langle v_{\text{кв1}} \rangle = 400 \frac{\text{М}}{\text{с}}$, в другом — $\langle v_{\text{кв2}} \rangle = 900 \frac{\text{М}}{\text{с}}$. Определите установившуюся среднюю квадратичную скорость теплового движения молекул после того, как сосуды соединили между собой. Известно, что давление газа в обоих сосудах было одинаковым и равным давлению газа после их соединения.

Дано:

$N_1 = N_2 = N$ (одинаковое число молекул)

$v_{кв1} = 400 \frac{м}{с}$ (средняя квадратичная скорость в первом сосуде)

$v_{кв2} = 900 \frac{м}{с}$ (средняя квадратичная скорость во втором сосуде)

$p_1 = p_2 = p_{общ} = p$ (давление до и после соединения одинаково)

Все величины представлены в системе СИ.

Найти:

$v_{кв}$ — установившаяся средняя квадратичная скорость после соединения сосудов.

Решение:

Согласно молекулярно-кинетической теории, средняя кинетическая энергия поступательного движения молекул идеального газа связана с его абсолютной температурой $T$ следующим соотношением:

$\frac{m_0 \langle v^2 \rangle}{2} = \frac{3}{2} k T$

где $m_0$ — масса одной молекулы, $\langle v^2 \rangle$ — средний квадрат скорости (не путать со средней квадратичной скоростью $v_{кв} = \sqrt{\langle v^2 \rangle}$), $k$ — постоянная Больцмана.

Из этого следует, что квадрат средней квадратичной скорости $v_{кв}^2$ прямо пропорционален абсолютной температуре $T$:

$v_{кв}^2 = \frac{3 k T}{m_0}$

Запишем уравнение состояния идеального газа (уравнение Клапейрона-Менделеева) для каждого сосуда до их соединения, выраженное через число молекул $N$:

$p_1 V_1 = N_1 k T_1$

$p_2 V_2 = N_2 k T_2$

По условию задачи, число молекул в сосудах одинаково ($N_1 = N_2 = N$) и давление также одинаково ($p_1 = p_2 = p$). Подставим эти условия:

$p V_1 = N k T_1 \quad (1)$

$p V_2 = N k T_2 \quad (2)$

После соединения сосудов газ занимает общий объем $V_{общ} = V_1 + V_2$, а общее число молекул удваивается $N_{общ} = N_1 + N_2 = 2N$. Согласно условию, давление в установившемся состоянии равно начальному давлению $p$. Установившаяся температура будет $T$. Уравнение состояния для объединенной системы:

$p V_{общ} = N_{общ} k T$

$p (V_1 + V_2) = 2N k T \quad (3)$

Из уравнений (1) и (2) выразим объемы $V_1$ и $V_2$:

$V_1 = \frac{N k T_1}{p}$

$V_2 = \frac{N k T_2}{p}$

Подставим эти выражения в уравнение (3):

$p \left( \frac{N k T_1}{p} + \frac{N k T_2}{p} \right) = 2N k T$

Сократим $p$ в левой части:

$N k T_1 + N k T_2 = 2N k T$

Разделив обе части уравнения на $N k$, получим связь между начальными температурами и конечной температурой:

$T_1 + T_2 = 2T \implies T = \frac{T_1 + T_2}{2}$

Итак, конечная температура газа равна среднему арифметическому начальных температур.

Теперь воспользуемся пропорциональностью $v_{кв}^2 \propto T$. Мы можем записать:

$T_1 \propto v_{кв1}^2$, $T_2 \propto v_{кв2}^2$, $T \propto v_{кв}^2$

Подставив эти соотношения в выражение для конечной температуры, получим:

$v_{кв}^2 = \frac{v_{кв1}^2 + v_{кв2}^2}{2}$

Это означает, что квадрат искомой средней квадратичной скорости равен среднему арифметическому квадратов начальных скоростей.

Подставим числовые значения из условия задачи:

$v_{кв}^2 = \frac{(400 \frac{м}{с})^2 + (900 \frac{м}{с})^2}{2} = \frac{160000 + 810000}{2} \frac{м^2}{с^2} = \frac{970000}{2} \frac{м^2}{с^2} = 485000 \frac{м^2}{с^2}$

Для нахождения самой скорости извлечем квадратный корень:

$v_{кв} = \sqrt{485000 \frac{м^2}{с^2}} \approx 696,4 \frac{м}{с}$

Округляя до целого значения, получаем:

$v_{кв} \approx 696 \frac{м}{с}$

Ответ:

Установившаяся средняя квадратичная скорость теплового движения молекул азота составляет приблизительно $696 \frac{м}{с}$.