Номер 52, страница 14 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

52. При изменении режима работы лампы давление идеального газа в ее баллоне возросло от $p_1 = 90,0 \text{ кПа}$ до $p_2 = 96,1 \text{ кПа}$, а плотность газа осталась неизменной — $\rho = 0,75 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}$. Определите, на сколько уменьшилась средняя квадратичная скорость теплового движения молекул газа.

Дано:

$p_1 = 90.0 \text{ кПа}$
$p_2 = 96.1 \text{ кПа}$
$\rho = 0.75 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}$

В системе СИ:
$p_1 = 90.0 \times 10^3 \text{ Па}$
$p_2 = 96.1 \times 10^3 \text{ Па}$

Найти:

На сколько уменьшилась средняя квадратичная скорость ($\Delta v = v_1 - v_2$) — ?

Решение:

Основное уравнение молекулярно-кинетической теории газов связывает давление идеального газа $p$, его плотность $\rho$ и среднюю квадратичную скорость теплового движения его молекул $v_{кв}$:

$p = \frac{1}{3}\rho v_{кв}^2$

Из этого уравнения можно выразить среднюю квадратичную скорость:

$v_{кв} = \sqrt{\frac{3p}{\rho}}$

Поскольку плотность газа не изменилась, мы можем рассчитать начальную и конечную скорости, используя данные значения давления.

Начальная средняя квадратичная скорость $v_1$ при давлении $p_1$:

$v_1 = \sqrt{\frac{3p_1}{\rho}} = \sqrt{\frac{3 \cdot 90.0 \times 10^3 \text{ Па}}{0.75 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}}} = \sqrt{\frac{270 \times 10^3}{0.75}} \frac{\text{м}}{\text{с}} = \sqrt{360000} \frac{\text{м}}{\text{с}} = 600 \frac{\text{м}}{\text{с}}$

Конечная средняя квадратичная скорость $v_2$ при давлении $p_2$:

$v_2 = \sqrt{\frac{3p_2}{\rho}} = \sqrt{\frac{3 \cdot 96.1 \times 10^3 \text{ Па}}{0.75 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}}} = \sqrt{\frac{288.3 \times 10^3}{0.75}} \frac{\text{м}}{\text{с}} = \sqrt{384400} \frac{\text{м}}{\text{с}} = 620 \frac{\text{м}}{\text{с}}$

В задаче требуется определить, на сколько скорость уменьшилась. Это значение соответствует разности начальной и конечной скоростей: $\Delta v = v_1 - v_2$.

$\Delta v = 600 \frac{\text{м}}{\text{с}} - 620 \frac{\text{м}}{\text{с}} = -20 \frac{\text{м}}{\text{с}}$

Отрицательный результат означает, что скорость в действительности не уменьшилась, а увеличилась на $20 \frac{\text{м}}{\text{с}}$. Это согласуется с тем, что давление газа возросло при постоянной плотности.

Ответ: средняя квадратичная скорость уменьшилась на $-20 \frac{\text{м}}{\text{с}}$ (то есть увеличилась на $20 \frac{\text{м}}{\text{с}}$).