Номер 45, страница 12 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

45. Определите среднюю квадратичную скорость теплового движения молекул идеального газа, давление которого $p=0.5 \cdot 10^5 \text{ Па}$, а масса $m=60 \text{ г}$. Объем сосуда, в котором находится газ, $V=0.1 \text{ м}^3$.

Дано:

Давление газа, $p = 0,5 \cdot 10^5$ Па

Масса газа, $m = 60$ г

Объем сосуда, $V = 0,1$ м$^3$

Перевод в систему СИ:

$m = 60 \text{ г} = 60 \cdot 10^{-3} \text{ кг} = 0,06 \text{ кг}$

Найти:

Среднюю квадратичную скорость теплового движения молекул, $v_{ск}$

Решение:

Основное уравнение молекулярно-кинетической теории идеального газа связывает давление газа с его микроскопическими параметрами:

$p = \frac{1}{3} n m_0 \langle v^2 \rangle$

где $p$ – давление газа, $n$ – концентрация молекул, $m_0$ – масса одной молекулы, а $\langle v^2 \rangle$ – средний квадрат скорости молекул.

Концентрацию молекул $n$ можно выразить как отношение числа молекул $N$ к объему $V$: $n = \frac{N}{V}$.

Подставим это в основное уравнение:

$p = \frac{1}{3} \frac{N}{V} m_0 \langle v^2 \rangle$

Произведение числа молекул $N$ на массу одной молекулы $m_0$ равно общей массе газа $m$: $m = N \cdot m_0$.

Также можно отметить, что произведение концентрации на массу одной молекулы $n \cdot m_0$ равно плотности газа $\rho = \frac{m}{V}$.

Тогда уравнение примет вид:

$p = \frac{1}{3} \frac{m}{V} \langle v^2 \rangle$ или $p = \frac{1}{3} \rho \langle v^2 \rangle$

Из этого уравнения выразим средний квадрат скорости молекул $\langle v^2 \rangle$:

$\langle v^2 \rangle = \frac{3pV}{m}$

Средняя квадратичная скорость $v_{ск}$ является корнем квадратным из среднего квадрата скорости:

$v_{ск} = \sqrt{\langle v^2 \rangle} = \sqrt{\frac{3pV}{m}}$

Подставим числовые значения из условия задачи в систему СИ:

$v_{ск} = \sqrt{\frac{3 \cdot 0,5 \cdot 10^5 \text{ Па} \cdot 0,1 \text{ м}^3}{0,06 \text{ кг}}}$

$v_{ск} = \sqrt{\frac{0,15 \cdot 10^5}{0,06}} = \sqrt{\frac{15000}{0,06}} = \sqrt{250000} = 500 \text{ м/с}$

Ответ: средняя квадратичная скорость теплового движения молекул газа равна 500 м/с.