Номер 47, страница 13 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

47. Определите плотность идеального газа, молекулы которого оказывают на стенки сосуда давление $p = 1.6 \cdot 10^5$ Па. Средняя квадратичная скорость теплового движения молекул $\langle v_{\text{кв}} \rangle = 800 \frac{\text{м}}{\text{с}}$.

Дано:

Давление идеального газа, $p = 1,6 \cdot 10^5$ Па.
Средняя квадратичная скорость теплового движения молекул, $\langle v_{кв} \rangle = 800$ м/с.

Найти:

Плотность идеального газа, $\rho$.

Решение:

Для решения задачи воспользуемся основным уравнением молекулярно-кинетической теории (МКТ) идеального газа, которое связывает давление газа с его микроскопическими параметрами:

$p = \frac{1}{3} n m_0 \langle v^2 \rangle$

где $p$ – давление газа, $n$ – концентрация молекул (число молекул в единице объема), $m_0$ – масса одной молекулы, а $\langle v^2 \rangle$ – средний квадрат скорости молекул.

Плотность газа $\rho$ определяется как масса газа в единице объема. Она связана с концентрацией и массой одной молекулы соотношением:

$\rho = n \cdot m_0$

Подставим выражение для плотности $\rho$ в основное уравнение МКТ:

$p = \frac{1}{3} \rho \langle v^2 \rangle$

Средняя квадратичная скорость $\langle v_{кв} \rangle$ по определению равна корню из среднего квадрата скорости, то есть $\langle v_{кв} \rangle = \sqrt{\langle v^2 \rangle}$, откуда следует, что $\langle v^2 \rangle = \langle v_{кв} \rangle^2$. С учетом этого, уравнение примет вид:

$p = \frac{1}{3} \rho \langle v_{кв} \rangle^2$

Теперь выразим из этой формулы искомую плотность $\rho$:

$3p = \rho \langle v_{кв} \rangle^2$

$\rho = \frac{3p}{\langle v_{кв} \rangle^2}$

Подставим числовые значения из условия задачи в полученную формулу:

$\rho = \frac{3 \cdot 1,6 \cdot 10^5 \text{ Па}}{(800 \text{ м/с})^2} = \frac{4,8 \cdot 10^5}{640000} = \frac{4,8 \cdot 10^5}{6,4 \cdot 10^5} = \frac{4,8}{6,4} = \frac{48}{64} = \frac{3}{4} = 0,75 \text{ кг/м}^3$

Ответ: плотность идеального газа составляет $0,75 \text{ кг/м}^3$.