Номер 57, страница 15 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

57. Средняя квадратичная скорость поступательного движения молекул идеального газа в закрытом баллоне увеличилась в $\alpha = 1,3$ раза. Определите, на сколько процентов изменилось давление газа.

Дано:

Идеальный газ в закрытом баллоне, $V = \text{const}$

Отношение конечной и начальной средних квадратичных скоростей молекул: $\frac{v_2}{v_1} = \alpha = 1.3$

Найти:

Процентное изменение давления газа: $\frac{\Delta p}{p_1} \cdot 100\%$

Решение:

Давление идеального газа связано со средней квадратичной скоростью его молекул основным уравнением молекулярно-кинетической теории:

$p = \frac{1}{3} n m_0 v^2$

где $p$ – давление газа, $n$ – концентрация молекул, $m_0$ – масса одной молекулы, а $v$ – средняя квадратичная скорость поступательного движения молекул.

Запишем это уравнение для начального (с индексом 1) и конечного (с индексом 2) состояний газа:

$p_1 = \frac{1}{3} n m_0 v_1^2$

$p_2 = \frac{1}{3} n m_0 v_2^2$

Поскольку газ находится в закрытом баллоне, его объем $V$ и количество молекул $N$ остаются постоянными. Следовательно, концентрация молекул $n = \frac{N}{V}$ также не изменяется. Масса одной молекулы $m_0$ является константой.

Найдем отношение конечного давления к начальному, разделив второе уравнение на первое:

$\frac{p_2}{p_1} = \frac{\frac{1}{3} n m_0 v_2^2}{\frac{1}{3} n m_0 v_1^2} = \frac{v_2^2}{v_1^2} = \left(\frac{v_2}{v_1}\right)^2$

Из условия задачи известно, что средняя квадратичная скорость увеличилась в $\alpha = 1.3$ раза, то есть $\frac{v_2}{v_1} = \alpha$.

Подставим это значение в полученное соотношение для давлений:

$\frac{p_2}{p_1} = \alpha^2 = (1.3)^2 = 1.69$

Теперь определим, на сколько процентов изменилось давление. Процентное изменение величины находится по формуле:

$\frac{\Delta p}{p_1} \cdot 100\% = \frac{p_2 - p_1}{p_1} \cdot 100\% = \left(\frac{p_2}{p_1} - 1\right) \cdot 100\%$

Подставим найденное значение отношения $\frac{p_2}{p_1}$:

$\left(1.69 - 1\right) \cdot 100\% = 0.69 \cdot 100\% = 69\%$

Ответ: давление газа увеличилось на 69%.