Номер 70, страница 17 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

70. Для продления срока хранения продуктов используют газовые упаковки, в которых применяют смесь газов: азота и углекислого газа. Модуль средней квадратичной скорости движения молекул азота $\langle v_{\text{кв}} \rangle_{\text{N}_2} = 0,5 \frac{\text{км}}{\text{с}}$. Определите модуль средней квадратичной скорости движения молекул углекислого газа, если средние кинетические энергии молекул газовой смеси одинаковы.

Дано:

Смесь газов: азот ($N_2$) и углекислый газ ($CO_2$).

Модуль средней квадратичной скорости молекул азота $\langle v_{кв} \rangle_{N_2} = 0,5 \frac{км}{с}$.

Средние кинетические энергии молекул газов одинаковы: $\langle E_{к} \rangle_{N_2} = \langle E_{к} \rangle_{CO_2}$.

Перевод в СИ:
$\langle v_{кв} \rangle_{N_2} = 0,5 \cdot 10^3 \frac{м}{с} = 500 \frac{м}{с}$

Найти:

Модуль средней квадратичной скорости молекул углекислого газа $\langle v_{кв} \rangle_{CO_2} - ?$

Решение:

Средняя кинетическая энергия поступательного движения молекул газа связана со средней квадратичной скоростью соотношением:

$\langle E_{к} \rangle = \frac{m_0 \langle v_{кв}^2 \rangle}{2}$

где $m_0$ — масса одной молекулы, а $\langle v_{кв} \rangle$ — модуль средней квадратичной скорости.

Согласно условию задачи, средние кинетические энергии молекул азота и углекислого газа равны. Это означает, что газы находятся в состоянии теплового равновесия и имеют одинаковую температуру.

$\langle E_{к} \rangle_{N_2} = \langle E_{к} \rangle_{CO_2}$

Подставим формулу для кинетической энергии в это равенство:

$\frac{m_{0, N_2} \langle v_{кв} \rangle_{N_2}^2}{2} = \frac{m_{0, CO_2} \langle v_{кв} \rangle_{CO_2}^2}{2}$

Упростим выражение:

$m_{0, N_2} \langle v_{кв} \rangle_{N_2}^2 = m_{0, CO_2} \langle v_{кв} \rangle_{CO_2}^2$

Масса одной молекулы $m_0$ пропорциональна молярной массе $M$ ($m_0 = M/N_A$, где $N_A$ — число Авогадро). Поэтому мы можем заменить массы молекул на молярные массы:

$M_{N_2} \langle v_{кв} \rangle_{N_2}^2 = M_{CO_2} \langle v_{кв} \rangle_{CO_2}^2$

Отсюда выразим искомую скорость $\langle v_{кв} \rangle_{CO_2}$:

$\langle v_{кв} \rangle_{CO_2}^2 = \frac{M_{N_2}}{M_{CO_2}} \langle v_{кв} \rangle_{N_2}^2$

$\langle v_{кв} \rangle_{CO_2} = \langle v_{кв} \rangle_{N_2} \sqrt{\frac{M_{N_2}}{M_{CO_2}}}$

Определим молярные массы газов, используя таблицу Менделеева (атомные массы: N ≈ 14, C ≈ 12, O ≈ 16):

Молярная масса азота ($N_2$): $M_{N_2} = 2 \cdot 14 = 28 \frac{г}{моль} = 28 \cdot 10^{-3} \frac{кг}{моль}$.

Молярная масса углекислого газа ($CO_2$): $M_{CO_2} = 12 + 2 \cdot 16 = 44 \frac{г}{моль} = 44 \cdot 10^{-3} \frac{кг}{моль}$.

Подставим числовые значения в формулу для скорости:

$\langle v_{кв} \rangle_{CO_2} = 500 \frac{м}{с} \cdot \sqrt{\frac{28 \cdot 10^{-3} \frac{кг}{моль}}{44 \cdot 10^{-3} \frac{кг}{моль}}} = 500 \frac{м}{с} \cdot \sqrt{\frac{28}{44}} = 500 \frac{м}{с} \cdot \sqrt{\frac{7}{11}}$

$\langle v_{кв} \rangle_{CO_2} \approx 500 \frac{м}{с} \cdot 0,798 \approx 399 \frac{м}{с}$

Ответ: модуль средней квадратичной скорости движения молекул углекислого газа составляет приблизительно $399 \frac{м}{с}$.