Номер 77, страница 18 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

77. На сколько процентов возрастет средняя квадратичная скорость поступательного движения молекул идеального газа, если его абсолютная температура увеличится в $\alpha = 1,69$ раза?

Дано:

$T_2 = \alpha \cdot T_1$

$\alpha = 1,69$

Найти:

$\frac{v_2 - v_1}{v_1} \cdot 100\%$

Решение

Средняя квадратичная скорость поступательного движения молекул идеального газа $v$ связана с абсолютной температурой $T$ следующим соотношением:

$v = \sqrt{\frac{3kT}{m_0}}$,

где $k$ – постоянная Больцмана, а $m_0$ – масса одной молекулы. Из этой формулы видно, что средняя квадратичная скорость прямо пропорциональна квадратному корню из абсолютной температуры:

$v \propto \sqrt{T}$.

Пусть начальная температура газа равна $T_1$, а начальная средняя квадратичная скорость молекул – $v_1$. Тогда:

$v_1 = C\sqrt{T_1}$, где $C$ - коэффициент пропорциональности.

Согласно условию, абсолютная температура увеличилась в $\alpha = 1,69$ раза, значит, новая температура $T_2$ равна:

$T_2 = 1,69 \cdot T_1$.

Новая средняя квадратичная скорость $v_2$ будет равна:

$v_2 = C\sqrt{T_2} = C\sqrt{1,69 \cdot T_1} = C\sqrt{1,69} \cdot \sqrt{T_1}$.

Поскольку $\sqrt{1,69} = 1,3$, получаем:

$v_2 = C \cdot 1,3 \cdot \sqrt{T_1} = 1,3 \cdot (C\sqrt{T_1}) = 1,3 \cdot v_1$.

Это означает, что скорость увеличилась в 1,3 раза.

Чтобы найти, на сколько процентов возросла скорость, рассчитаем процентное изменение:

$\frac{v_2 - v_1}{v_1} \cdot 100\% = \frac{1,3v_1 - v_1}{v_1} \cdot 100\% = \frac{0,3v_1}{v_1} \cdot 100\% = 0,3 \cdot 100\% = 30\%$.

Ответ: средняя квадратичная скорость возрастет на 30%.