Номер 78, страница 19 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

78. При нагревании идеального газа средняя квадратичная скорость поступательного движения молекул увеличилась в $ \alpha = 1,1 $ раза. На сколько процентов увеличилась абсолютная температура газа?

Дано:

Отношение конечной и начальной средних квадратичных скоростей молекул идеального газа: $\frac{v_2}{v_1} = \alpha = 1,1$

Найти:

Процентное увеличение абсолютной температуры: $\frac{\Delta T}{T_1} \times 100\%$

Решение:

Связь между средней кинетической энергией поступательного движения молекул идеального газа и его абсолютной температурой $T$ выражается формулой:

$\overline{E_k} = \frac{1}{2} m_0 v_{кв}^2 = \frac{3}{2} k T$

где $m_0$ — масса одной молекулы, $v_{кв}$ — средняя квадратичная скорость движения молекул, $k$ — постоянная Больцмана.

Из этого уравнения следует, что абсолютная температура $T$ пропорциональна квадрату средней квадратичной скорости $v_{кв}^2$:

$T = \frac{m_0 v_{кв}^2}{3k} \implies T \propto v_{кв}^2$

Пусть $T_1$ и $v_1$ — начальные абсолютная температура и средняя квадратичная скорость, а $T_2$ и $v_2$ — конечные. Тогда мы можем записать отношение температур:

$\frac{T_2}{T_1} = \frac{v_2^2}{v_1^2} = \left(\frac{v_2}{v_1}\right)^2$

По условию задачи, средняя квадратичная скорость увеличилась в $\alpha = 1,1$ раза, следовательно, $\frac{v_2}{v_1} = \alpha$.

Подставим это значение в наше соотношение:

$\frac{T_2}{T_1} = \alpha^2 = (1,1)^2 = 1,21$

Это означает, что конечная температура $T_2$ составляет $1,21$ от начальной температуры $T_1$, или $T_2 = 1,21 T_1$.

Чтобы найти, на сколько процентов увеличилась температура, вычислим относительное изменение температуры и умножим на 100%:

$\frac{\Delta T}{T_1} \times 100\% = \frac{T_2 - T_1}{T_1} \times 100\% = \left(\frac{T_2}{T_1} - 1\right) \times 100\%$

Подставим найденное отношение температур:

$\left(1,21 - 1\right) \times 100\% = 0,21 \times 100\% = 21\%$

Ответ: абсолютная температура газа увеличилась на 21%.