Номер 84, страница 19 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

84. При какой абсолютной температуре средняя квадратичная скорость теплового движения атомов гелия станет равной модулю скорости движения искусственного спутника Земли, летающего по круговой орбите на высоте $h=\frac{R}{2}$ (R — радиус Земли) от поверхности Земли? Молярная масса гелия равна $M$.

Дано:

Высота орбиты спутника: $h = \frac{R}{2}$

Радиус Земли: $R$

Молярная масса гелия: $M$

Условие: $\langle v_{кв} \rangle = v_{сп}$, где $\langle v_{кв} \rangle$ - средняя квадратичная скорость атомов гелия, $v_{сп}$ - скорость спутника.

Найти:

Абсолютную температуру гелия: $T$

Решение:

Средняя квадратичная скорость теплового движения атомов идеального газа $\langle v_{кв} \rangle$ связана с абсолютной температурой $T$ и молярной массой $M$ соотношением: $\langle v_{кв} \rangle^2 = \frac{3 R_{у} T}{M}$, где $R_{у}$ — универсальная газовая постоянная.

Скорость спутника $v_{сп}$ на круговой орбите определяется из условия равенства силы всемирного тяготения и центростремительной силы: $G \frac{M_{З} m}{r^2} = \frac{m v_{сп}^2}{r}$, где $G$ — гравитационная постоянная, $M_{З}$ — масса Земли, $m$ — масса спутника, а $r$ — радиус орбиты. Отсюда квадрат скорости спутника: $v_{сп}^2 = \frac{G M_{З}}{r}$.

Радиус орбиты $r$ равен сумме радиуса Земли $R$ и высоты $h$: $r = R + h = R + \frac{R}{2} = \frac{3}{2}R$.

Подставив радиус орбиты, получим: $v_{сп}^2 = \frac{G M_{З}}{\frac{3}{2}R} = \frac{2 G M_{З}}{3R}$.

Ускорение свободного падения у поверхности Земли $g$ определяется как $g = \frac{G M_{З}}{R^2}$, откуда следует, что $G M_{З} = g R^2$. Подставив это в выражение для квадрата скорости спутника, получим: $v_{сп}^2 = \frac{2 g R^2}{3R} = \frac{2 g R}{3}$.

По условию задачи, $\langle v_{кв} \rangle = v_{сп}$, что означает $\langle v_{кв} \rangle^2 = v_{сп}^2$. Приравниваем выражения для квадратов скоростей:

$\frac{3 R_{у} T}{M} = \frac{2 g R}{3}$

Наконец, выразим из этого уравнения искомую температуру $T$:

$9 R_{у} T = 2 g R M$

$T = \frac{2 g R M}{9 R_{у}}$

Ответ: $T = \frac{2 g R M}{9 R_{у}}$