Номер 82, страница 19 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

82. При температуре $T = 300 \text{ К}$ плотность газа $\rho = 1,2 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}$,

а средняя квадратичная скорость теплового движения молекул $\langle v_{\text{кв}} \rangle = 500 \frac{\text{М}}{\text{с}}$. Определите концентрацию молекул газа.

Дано:

$T = 300$ К

$\rho = 1,2 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}$

$\langle v_{\text{кв}} \rangle = 500 \frac{\text{м}}{\text{с}}$

Найти:

$n$ - концентрацию молекул газа.

Решение:

Для определения концентрации молекул газа воспользуемся двумя фундаментальными уравнениями молекулярно-кинетической теории.

1. Основное уравнение МКТ, которое связывает давление газа $p$, его плотность $\rho$ и среднюю квадратичную скорость движения молекул $\langle v_{\text{кв}} \rangle$:

$p = \frac{1}{3} \rho \langle v_{\text{кв}} \rangle^2$

2. Уравнение состояния идеального газа, связывающее давление $p$ с концентрацией молекул $n$ и абсолютной температурой $T$:

$p = n k T$

Здесь $k$ — постоянная Больцмана, равная примерно $1,38 \cdot 10^{-23} \frac{\text{Дж}}{\text{К}}$.

Поскольку оба выражения определяют давление одного и того же газа, мы можем их приравнять:

$\frac{1}{3} \rho \langle v_{\text{кв}} \rangle^2 = n k T$

Из этого равенства выразим искомую концентрацию $n$:

$n = \frac{\rho \langle v_{\text{кв}} \rangle^2}{3 k T}$

Подставим в полученную формулу числовые значения из условия задачи:

$n = \frac{1,2 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} \cdot (500 \frac{\text{м}}{\text{с}})^2}{3 \cdot 1,38 \cdot 10^{-23} \frac{\text{Дж}}{\text{К}} \cdot 300 \text{ К}}$

Проведем вычисления:

$n = \frac{1,2 \cdot 250000}{1242 \cdot 10^{-23}} \text{ м}^{-3} = \frac{300000}{1242 \cdot 10^{-23}} \text{ м}^{-3} \approx 2,415 \cdot 10^{25} \text{ м}^{-3}$

Округлим результат до двух значащих цифр, в соответствии с точностью исходных данных:

$n \approx 2,4 \cdot 10^{25} \text{ м}^{-3}$

Ответ: концентрация молекул газа составляет $2,4 \cdot 10^{25} \text{ м}^{-3}$.