Номер 88, страница 20 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

88. Температура идеального газа в сосуде увеличилась от $t_1=22^\circ\text{C}$ до $t_2=81^\circ\text{C}$. На сколько процентов повысилось давление газа?

Дано:

Начальная температура газа $t_1 = 22^\circ C$

Конечная температура газа $t_2 = 81^\circ C$

Процесс изохорный (газ в сосуде), $V = \text{const}$

Перевод всех данных в систему СИ:

Для термодинамических расчетов температуру необходимо выразить в Кельвинах (К). Связь между шкалой Цельсия и Кельвина: $T(K) = t(^\circ C) + 273$.

Начальная абсолютная температура: $T_1 = 22 + 273 = 295 \text{ К}$

Конечная абсолютная температура: $T_2 = 81 + 273 = 354 \text{ К}$

Найти:

Процентное повышение давления газа: $\frac{P_2 - P_1}{P_1} \times 100\%$

Решение:

Поскольку идеальный газ находится в сосуде, его объем остается постоянным ($V = \text{const}$). Процесс изменения состояния газа при постоянном объеме называется изохорным. Для изохорного процесса справедлив закон Шарля, который утверждает, что давление газа прямо пропорционально его абсолютной температуре:

$\frac{P}{T} = \text{const}$

Это означает, что для начального и конечного состояний газа справедливо соотношение:

$\frac{P_1}{T_1} = \frac{P_2}{T_2}$

где $P_1$ и $T_1$ — начальные давление и абсолютная температура, а $P_2$ и $T_2$ — конечные.

Из этого соотношения выразим конечное давление $P_2$:

$P_2 = P_1 \cdot \frac{T_2}{T_1}$

Процентное повышение давления определяется по формуле относительного изменения:

$\frac{\Delta P}{P_1} \times 100\% = \frac{P_2 - P_1}{P_1} \times 100\%$

Подставим в эту формулу выражение для $P_2$ и преобразуем его:

$\frac{P_1 \cdot \frac{T_2}{T_1} - P_1}{P_1} \times 100\% = \left(\frac{P_1 \cdot \frac{T_2}{T_1}}{P_1} - \frac{P_1}{P_1}\right) \times 100\% = \left(\frac{T_2}{T_1} - 1\right) \times 100\%$

Теперь подставим числовые значения абсолютных температур $T_1$ и $T_2$:

$\left(\frac{354 \text{ К}}{295 \text{ К}} - 1\right) \times 100\% = (1.2 - 1) \times 100\% = 0.2 \times 100\% = 20\%$

Ответ: давление газа повысилось на 20%.