Номер 90, страница 20 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

90. Давление холодного воздуха при температуре $t_1 = -23^\circ \text{C}$ равно давлению этого же воздуха, нагретого до температуры $t_2 = 27^\circ \text{C}$. Во сколько раз плотность холодного воздуха больше плотности теплого воздуха?

Дано:

$t_1 = -23 \text{ °C}$

$t_2 = 27 \text{ °C}$

$P_1 = P_2 = P$

$T_1 = t_1 + 273 = -23 + 273 = 250 \text{ К}$
$T_2 = t_2 + 273 = 27 + 273 = 300 \text{ К}$

Найти:

$\frac{\rho_1}{\rho_2}$

Решение:

Для решения задачи воспользуемся уравнением состояния идеального газа (уравнением Менделеева-Клапейрона):

$PV = \frac{m}{M}RT$

где $P$ — давление, $V$ — объем, $m$ — масса газа, $M$ — молярная масса газа, $R$ — универсальная газовая постоянная, $T$ — абсолютная температура.

Плотность газа $\rho$ определяется как отношение массы к объему:

$\rho = \frac{m}{V}$

Выразим отношение $\frac{m}{V}$ из уравнения состояния идеального газа:

$\frac{m}{V} = \frac{PM}{RT}$

Следовательно, плотность газа можно выразить формулой:

$\rho = \frac{PM}{RT}$

Запишем это уравнение для двух состояний воздуха: холодного (индекс 1) и теплого (индекс 2).

Плотность холодного воздуха:

$\rho_1 = \frac{P_1 M}{RT_1}$

Плотность теплого воздуха:

$\rho_2 = \frac{P_2 M}{RT_2}$

По условию задачи, давление холодного и теплого воздуха одинаково: $P_1 = P_2 = P$. Молярная масса воздуха $M$ и универсальная газовая постоянная $R$ также являются константами.

Найдем отношение плотности холодного воздуха к плотности теплого воздуха, разделив первое уравнение на второе:

$\frac{\rho_1}{\rho_2} = \frac{\frac{P M}{RT_1}}{\frac{P M}{RT_2}}$

Сократив одинаковые множители $P$, $M$ и $R$, получим:

$\frac{\rho_1}{\rho_2} = \frac{T_2}{T_1}$

Подставим значения абсолютных температур, которые мы уже перевели в систему СИ (Кельвины):

$\frac{\rho_1}{\rho_2} = \frac{300 \text{ К}}{250 \text{ К}} = \frac{30}{25} = \frac{6}{5} = 1.2$

Таким образом, плотность холодного воздуха в 1,2 раза больше плотности теплого воздуха.

Ответ: плотность холодного воздуха больше плотности теплого в 1,2 раза.