Номер 83, страница 19 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

83. Идеальный газ массой $m = 69$ г при температуре $T = 300$ К имеет среднюю квадратичную скорость движения молекул $\langle v_{\text{кв}} \rangle = 420 \frac{\text{м}}{\text{с}}$. Сколько молекул содержится в этом газе?

Дано:

$m = 69$ г

$T = 300$ К

$\langle v_{\text{кв}} \rangle = 420$ м/с

Перевод в систему СИ:

$m = 0.069$ кг

Найти:

$N$ — ?

Решение:

Средняя кинетическая энергия поступательного движения молекул идеального газа может быть выражена двумя способами.

С одной стороны, она связана с массой одной молекулы $m_0$ и среднеквадратичной скоростью $\langle v_{\text{кв}} \rangle$:

$\langle E_k \rangle = \frac{m_0 \langle v_{\text{кв}} \rangle^2}{2}$

С другой стороны, средняя кинетическая энергия молекулы определяется абсолютной температурой газа $T$:

$\langle E_k \rangle = \frac{3}{2}kT$, где $k \approx 1.38 \cdot 10^{-23}$ Дж/К — постоянная Больцмана.

Приравняв правые части этих двух выражений, получим:

$\frac{m_0 \langle v_{\text{кв}} \rangle^2}{2} = \frac{3}{2}kT$

Из этого уравнения мы можем выразить массу одной молекулы $m_0$:

$m_0 \langle v_{\text{кв}} \rangle^2 = 3kT$

$m_0 = \frac{3kT}{\langle v_{\text{кв}} \rangle^2}$

Общее число молекул $N$ в газе равно отношению общей массы газа $m$ к массе одной молекулы $m_0$:

$N = \frac{m}{m_0}$

Подставим в эту формулу выражение для $m_0$:

$N = \frac{m}{\frac{3kT}{\langle v_{\text{кв}} \rangle^2}} = \frac{m \langle v_{\text{кв}} \rangle^2}{3kT}$

Теперь подставим числовые значения в полученную формулу, предварительно переведя массу в килограммы ($m = 69$ г $= 0.069$ кг):

$N = \frac{0.069 \text{ кг} \cdot (420 \frac{\text{м}}{\text{с}})^2}{3 \cdot 1.38 \cdot 10^{-23} \frac{\text{Дж}}{\text{К}} \cdot 300 \text{ К}} = \frac{0.069 \cdot 176400}{1242 \cdot 10^{-23}} = \frac{12171.6}{1.242 \cdot 10^{-20}} \approx 9800 \cdot 10^{20} = 9.8 \cdot 10^{23}$

Ответ: в газе содержится примерно $9.8 \cdot 10^{23}$ молекул.