Номер 104, страница 22 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

104. Баллон содержит идеальный газ при температуре $t_1 = 27^\circ \text{C}$ и давлении $p_1 = 4,0 \cdot 10^6 \text{ Па}$. Каким станет давление газа, если из баллона выпустить половину газа, а температуру понизить до $t_2 = 12^\circ \text{C}$?

Дано:

Начальная температура газа: $t_1 = 27^\circ C$

Начальное давление газа: $p_1 = 4,0 \cdot 10^6$ Па

Конечная температура газа: $t_2 = 12^\circ C$

Из баллона выпустили половину газа. Это означает, что масса газа, а следовательно и количество вещества, уменьшились в 2 раза: $n_2 = \frac{1}{2}n_1$.

Объем баллона постоянен: $V_1 = V_2 = V$.

Перевод в систему СИ:

Для использования в уравнении состояния идеального газа температуру необходимо перевести из градусов Цельсия в Кельвины по формуле $T = t(^\circ C) + 273.15$. Для упрощения расчетов используем $T = t(^\circ C) + 273$.

Начальная абсолютная температура: $T_1 = 27 + 273 = 300$ К

Конечная абсолютная температура: $T_2 = 12 + 273 = 285$ К

Давление $p_1$ уже дано в единицах СИ (Паскалях).

Найти:

Конечное давление газа $p_2$.

Решение:

Состояние идеального газа описывается уравнением Менделеева-Клапейрона:

$pV = nRT$

где $p$ – давление, $V$ – объем, $n$ – количество вещества, $R$ – универсальная газовая постоянная, $T$ – абсолютная температура.

Запишем это уравнение для начального и конечного состояний газа.

1. Начальное состояние:

$p_1 V = n_1 R T_1$

2. Конечное состояние:

$p_2 V = n_2 R T_2$

Поскольку объем баллона $V$ и универсальная газовая постоянная $R$ не изменяются, мы можем составить систему из двух уравнений и найти соотношение между давлениями.

Разделим второе уравнение на первое:

$\frac{p_2 V}{p_1 V} = \frac{n_2 R T_2}{n_1 R T_1}$

Сократим одинаковые множители ($V$ и $R$):

$\frac{p_2}{p_1} = \frac{n_2 T_2}{n_1 T_1}$

По условию, из баллона выпустили половину газа, значит $n_2 = \frac{1}{2}n_1$. Подставим это соотношение в формулу:

$\frac{p_2}{p_1} = \frac{\frac{1}{2}n_1 T_2}{n_1 T_1}$

Сократим $n_1$:

$\frac{p_2}{p_1} = \frac{1}{2} \frac{T_2}{T_1}$

Отсюда выразим искомое давление $p_2$:

$p_2 = p_1 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{T_2}{T_1}$

Подставим числовые значения из условия и данных, переведенных в СИ:

$p_2 = (4,0 \cdot 10^6 \text{ Па}) \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{285 \text{ К}}{300 \text{ К}}$

$p_2 = (2,0 \cdot 10^6 \text{ Па}) \cdot 0,95$

$p_2 = 1,9 \cdot 10^6$ Па

Ответ: давление газа станет $1,9 \cdot 10^6$ Па.