Номер 107, страница 23 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

107. Газ находится в вертикальном цилиндре под гладким поршнем массой $m = 5,0 \text{ кг}$. Определите массу груза, который надо положить на поршень, чтобы он остался в прежнем положении, если абсолютную температуру газа увеличат в $\alpha = 2,0$ раза. Атмосферное давление $p_0 = 100 \text{ кПа}$. Площадь поперечного сечения поршня $S = 10 \text{ см}^2$.

Дано:

Масса поршня $m = 5,0 \text{ кг}$

Увеличение абсолютной температуры в $\alpha = 2,0$ раза

Атмосферное давление $p_0 = 100 \text{ кПа} = 100 \cdot 10^3 \text{ Па} = 10^5 \text{ Па}$

Площадь поперечного сечения поршня $S = 10 \text{ см}^2 = 10 \cdot (10^{-2} \text{ м})^2 = 10^{-3} \text{ м}^2$

Найти:

Массу груза $m_x$

Решение:

Рассмотрим начальное состояние системы. Поршень находится в равновесии. На него действуют три силы по вертикали: сила давления газа $F_1 = p_1 S$, направленная вверх, сила тяжести поршня $F_g = mg$, направленная вниз, и сила атмосферного давления $F_0 = p_0 S$, направленная вниз. Условие равновесия для поршня в проекции на вертикальную ось, направленную вверх:

$p_1 S - mg - p_0 S = 0$

Отсюда можно выразить начальное давление газа в цилиндре:

$p_1 = p_0 + \frac{mg}{S}$

В конечном состоянии на поршень кладут груз массой $m_x$, и температуру газа увеличивают так, что $T_2 = \alpha T_1$. По условию, поршень остается в том же положении, следовательно, объем газа не меняется ($V_2 = V_1 = V$). Процесс нагрева газа является изохорным.

Для изохорного процесса справедлив закон Шарля:

$\frac{p_1}{T_1} = \frac{p_2}{T_2}$

Подставив $T_2 = \alpha T_1$, получим соотношение между начальным и конечным давлением газа:

$\frac{p_1}{T_1} = \frac{p_2}{\alpha T_1} \implies p_2 = \alpha p_1$

Запишем условие равновесия для поршня с грузом в конечном состоянии. Теперь на поршень действуют: сила давления газа $F_2 = p_2 S$ (вверх), сила тяжести поршня $mg$ (вниз), сила тяжести груза $F_{gx} = m_x g$ (вниз) и сила атмосферного давления $p_0 S$ (вниз).

$p_2 S - mg - m_x g - p_0 S = 0$

Выразим конечное давление газа:

$p_2 = p_0 + \frac{(m + m_x)g}{S}$

Теперь подставим выражения для $p_1$ и $p_2$ в соотношение $p_2 = \alpha p_1$:

$p_0 + \frac{(m + m_x)g}{S} = \alpha \left(p_0 + \frac{mg}{S}\right)$

Выразим из этого уравнения искомую массу груза $m_x$:

$p_0 + \frac{mg}{S} + \frac{m_x g}{S} = \alpha p_0 + \frac{\alpha mg}{S}$

$\frac{m_x g}{S} = \alpha p_0 - p_0 + \frac{\alpha mg}{S} - \frac{mg}{S}$

$\frac{m_x g}{S} = (\alpha - 1)p_0 + \frac{(\alpha - 1)mg}{S}$

$\frac{m_x g}{S} = (\alpha - 1)\left(p_0 + \frac{mg}{S}\right)$

Умножим обе части на $S$ и разделим на $g$:

$m_x = \frac{(\alpha - 1)(p_0 S + mg)}{g}$

Подставим числовые значения. Примем ускорение свободного падения $g \approx 10 \text{ м/с}^2$.

$m_x = \frac{(2,0 - 1)(10^5 \text{ Па} \cdot 10^{-3} \text{ м}^2 + 5,0 \text{ кг} \cdot 10 \text{ м/с}^2)}{10 \text{ м/с}^2}$

$m_x = \frac{1 \cdot (100 \text{ Н} + 50 \text{ Н})}{10 \text{ м/с}^2} = \frac{150 \text{ Н}}{10 \text{ м/с}^2} = 15 \text{ кг}$

Ответ: масса груза, который надо положить на поршень, равна 15 кг.