Номер 109, страница 23 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

109. Сосуд разделен тонкой перегородкой на две части. В одной части сосуда находится гелий, давление которого $p_1 = 2,0 \cdot 10^5$ Па, а число молекул $N_1 = 4,0 \cdot 10^{20}$. В другой части сосуда содержится аргон, давление которого $p_2 = 5,0 \cdot 10^5$ Па, а число молекул $N_2 = 5,0 \cdot 10^{20}$. Температура газов одинаковая. Определите, какое давление установится в сосуде, если убрать перегородку. Температура останется прежней.

Дано:

Часть 1 (гелий):

$p_1 = 2,0 \cdot 10^5$ Па

$N_1 = 4,0 \cdot 10^{20}$

Часть 2 (аргон):

$p_2 = 5,0 \cdot 10^5$ Па

$N_2 = 5,0 \cdot 10^{20}$

$T_1 = T_2 = T_{смеси} = T = \text{const}$

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

$p$ - ?

Решение:

Для решения задачи воспользуемся уравнением состояния идеального газа в форме $p V = N k T$, где $p$ — давление, $V$ — объем, $N$ — число молекул, $k$ — постоянная Больцмана, $T$ — абсолютная температура.

До удаления перегородки для каждого газа можно записать свое уравнение состояния:

Для гелия в первой части сосуда: $p_1 V_1 = N_1 k T$

Для аргона во второй части сосуда: $p_2 V_2 = N_2 k T$

Из этих уравнений можно выразить объемы каждой части сосуда:

$V_1 = \frac{N_1 k T}{p_1}$

$V_2 = \frac{N_2 k T}{p_2}$

После того как перегородку уберут, газы смешаются и займут весь объем сосуда. Общий объем $V$ будет равен сумме объемов двух частей:

$V = V_1 + V_2 = \frac{N_1 k T}{p_1} + \frac{N_2 k T}{p_2} = k T \left( \frac{N_1}{p_1} + \frac{N_2}{p_2} \right)$

Общее число молекул в сосуде $N$ будет равно сумме числа молекул гелия и аргона:

$N = N_1 + N_2$

Температура смеси по условию остается прежней, $T$. Запишем уравнение состояния для смеси газов, установившееся давление которой обозначим как $p$:

$p V = N k T$

Подставим в это уравнение выражения для общего объема $V$ и общего числа молекул $N$:

$p \cdot k T \left( \frac{N_1}{p_1} + \frac{N_2}{p_2} \right) = (N_1 + N_2) k T$

Сократим $k T$ в обеих частях уравнения (так как $k \ne 0$ и $T \ne 0$):

$p \left( \frac{N_1}{p_1} + \frac{N_2}{p_2} \right) = N_1 + N_2$

Отсюда выразим итоговое давление $p$:

$p = \frac{N_1 + N_2}{\frac{N_1}{p_1} + \frac{N_2}{p_2}}$

Подставим числовые значения из условия задачи:

$\frac{N_1}{p_1} = \frac{4,0 \cdot 10^{20}}{2,0 \cdot 10^5 \text{ Па}} = 2,0 \cdot 10^{15} \text{ Па}^{-1}$

$\frac{N_2}{p_2} = \frac{5,0 \cdot 10^{20}}{5,0 \cdot 10^5 \text{ Па}} = 1,0 \cdot 10^{15} \text{ Па}^{-1}$

$N_1 + N_2 = 4,0 \cdot 10^{20} + 5,0 \cdot 10^{20} = 9,0 \cdot 10^{20}$

Теперь найдем давление $p$:

$p = \frac{9,0 \cdot 10^{20}}{2,0 \cdot 10^{15} \text{ Па}^{-1} + 1,0 \cdot 10^{15} \text{ Па}^{-1}} = \frac{9,0 \cdot 10^{20}}{3,0 \cdot 10^{15} \text{ Па}^{-1}} = 3,0 \cdot 10^5 \text{ Па}$

Ответ: $p = 3,0 \cdot 10^5$ Па.