Номер 436, страница 91 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

436. На рисунке 70 представлен циклический процесс, проведенный с идеальным одноатомным газом. В состоянии 1 давление и объем газа равны $p_0 = 6,0 \cdot 10^4 \text{ Па}$ и $V_0 = 50 \text{ см}^3$ соответственно. Определите полезную работу, совершенную силами давления газа за $n = 10$ циклов.

Рис. 70

Дано:

$p_0 = 6,0 \cdot 10^4$ Па

$V_0 = 50$ см$^3$

$n = 10$

Перевод в систему СИ:

$V_0 = 50 \text{ см}^3 = 50 \cdot (10^{-2} \text{ м})^3 = 50 \cdot 10^{-6} \text{ м}^3 = 5,0 \cdot 10^{-5} \text{ м}^3$

Найти:

$A_n$

Решение:

Полезная работа, совершаемая газом за один цикл, численно равна площади фигуры, ограниченной графиком этого цикла в координатах давление-объем $(p, V)$. В задаче представлен график в координатах давление-температура $(p, T)$. Чтобы найти работу, необходимо сначала определить объемы газа в узловых точках цикла (1, 2, 3, 4).

Воспользуемся уравнением состояния идеального газа (уравнением Клапейрона-Менделеева): $pV = \nu RT$. Для данного количества газа $\frac{pV}{T} = \nu R = \text{const}$.

Из графика считываем параметры газа в состояниях 1, 2, 3 и 4:

• Состояние 1: $p_1 = p_0$, $T_1 = T_0$
• Состояние 2: $p_2 = 2p_0$, $T_2 = 2T_0$
• Состояние 3: $p_3 = 2p_0$, $T_3 = 4T_0$
• Состояние 4: $p_4 = p_0$, $T_4 = 2T_0$

Из условия задачи нам известен объем в состоянии 1: $V_1 = V_0$. Найдем объемы в остальных состояниях, используя соотношение $\frac{p_1 V_1}{T_1} = \frac{p_i V_i}{T_i}$ для каждого состояния $i$.

Для состояния 2:

$\frac{p_1 V_1}{T_1} = \frac{p_2 V_2}{T_2} \Rightarrow V_2 = V_1 \frac{p_1}{p_2} \frac{T_2}{T_1} = V_0 \frac{p_0}{2p_0} \frac{2T_0}{T_0} = V_0$

Для состояния 3:

$\frac{p_1 V_1}{T_1} = \frac{p_3 V_3}{T_3} \Rightarrow V_3 = V_1 \frac{p_1}{p_3} \frac{T_3}{T_1} = V_0 \frac{p_0}{2p_0} \frac{4T_0}{T_0} = 2V_0$

Для состояния 4:

$\frac{p_1 V_1}{T_1} = \frac{p_4 V_4}{T_4} \Rightarrow V_4 = V_1 \frac{p_1}{p_4} \frac{T_4}{T_1} = V_0 \frac{p_0}{p_0} \frac{2T_0}{T_0} = 2V_0$

Теперь мы можем представить цикл в координатах $(V, p)$. Он будет состоять из следующих процессов:

• 1-2: Изохорное нагревание ($V = V_0$, давление растет с $p_0$ до $2p_0$). Работа $A_{12} = 0$.
• 2-3: Изобарное расширение ($p = 2p_0$, объем увеличивается с $V_0$ до $2V_0$). Работа $A_{23} = p_2(V_3-V_2) = 2p_0(2V_0-V_0) = 2p_0V_0$.
• 3-4: Изохорное охлаждение ($V = 2V_0$, давление падает с $2p_0$ до $p_0$). Работа $A_{34} = 0$.
• 4-1: Изобарное сжатие ($p = p_0$, объем уменьшается с $2V_0$ до $V_0$). Работа $A_{41} = p_4(V_1-V_4) = p_0(V_0-2V_0) = -p_0V_0$.

Работа за один цикл $A_1$ равна сумме работ на каждом участке или площади прямоугольника, который образует цикл в координатах $(V, p)$:

$A_1 = A_{12} + A_{23} + A_{34} + A_{41} = 0 + 2p_0V_0 + 0 - p_0V_0 = p_0V_0$

Подставим числовые значения в СИ:

$A_1 = (6,0 \cdot 10^4 \text{ Па}) \cdot (5,0 \cdot 10^{-5} \text{ м}^3) = 30 \cdot 10^{-1} \text{ Дж} = 3,0 \text{ Дж}$

Работа, совершенная за $n = 10$ циклов, равна:

$A_n = n \cdot A_1 = 10 \cdot 3,0 \text{ Дж} = 30 \text{ Дж}$

Ответ: $30$ Дж.