Номер 429, страница 88 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

429. В процессе расширения к идеальному одноатомному газу было подведено количество теплоты, в $n = 4$ раза превышающее значение внутренней энергии газа в начальном состоянии. Во сколько раз увеличился объем газа, если давление увеличивалось прямо пропорционально объему?

Дано:

Идеальный одноатомный газ

$Q = n \cdot U_1$

$n = 4$

$P = k \cdot V$ (давление прямо пропорционально объему)

Найти:

$\frac{V_2}{V_1}$

Решение:

Запишем первый закон термодинамики:

$Q = \Delta U + A$,

где $Q$ — количество теплоты, подведенное к газу, $\Delta U$ — изменение его внутренней энергии, $A$ — работа, совершенная газом.

По условию задачи, количество подведенной теплоты $Q$ в $n=4$ раза превышает начальную внутреннюю энергию газа $U_1$:

$Q = 4 U_1$.

Внутренняя энергия идеального одноатомного газа выражается формулой:

$U = \frac{3}{2} \nu R T$,

где $\nu$ — количество вещества, $R$ — универсальная газовая постоянная, $T$ — абсолютная температура. Используя уравнение состояния идеального газа $PV = \nu RT$, формулу для внутренней энергии можно записать как:

$U = \frac{3}{2} PV$.

Тогда начальная внутренняя энергия газа равна $U_1 = \frac{3}{2} P_1 V_1$.

Изменение внутренней энергии газа при переходе из начального состояния $(P_1, V_1)$ в конечное $(P_2, V_2)$ равно:

$\Delta U = U_2 - U_1 = \frac{3}{2} P_2 V_2 - \frac{3}{2} P_1 V_1 = \frac{3}{2} (P_2 V_2 - P_1 V_1)$.

Из условия известно, что давление увеличивалось прямо пропорционально объему, то есть $P = k V$, где $k$ — коэффициент пропорциональности. Для начального и конечного состояний это означает:

$P_1 = k V_1$ и $P_2 = k V_2$.

Отсюда следует, что $\frac{P_1}{V_1} = \frac{P_2}{V_2}$, или $P_2 = P_1 \frac{V_2}{V_1}$.

Обозначим искомое отношение объемов как $x = \frac{V_2}{V_1}$. Тогда $P_2 = x P_1$.

Подставим эти соотношения в выражение для изменения внутренней энергии:

$\Delta U = \frac{3}{2} ((x P_1)(x V_1) - P_1 V_1) = \frac{3}{2} P_1 V_1 (x^2 - 1)$.

Работа газа $A$ при расширении от объема $V_1$ до $V_2$ графически представляет собой площадь под графиком процесса в координатах $(P, V)$. Так как зависимость $P$ от $V$ линейная, график представляет собой прямую линию, а площадь под ним — это площадь трапеции:

$A = \frac{P_1 + P_2}{2} (V_2 - V_1)$.

Подставим в эту формулу $V_2 = x V_1$ и $P_2 = x P_1$:

$A = \frac{P_1 + x P_1}{2} (x V_1 - V_1) = \frac{P_1(1+x)}{2} V_1(x-1) = \frac{1}{2} P_1 V_1 (x^2 - 1)$.

Теперь подставим все полученные выражения в первый закон термодинамики:

$Q = \Delta U + A$

$4 U_1 = \frac{3}{2} P_1 V_1 (x^2 - 1) + \frac{1}{2} P_1 V_1 (x^2 - 1)$.

Заменим $U_1$ на $\frac{3}{2} P_1 V_1$:

$4 \cdot \frac{3}{2} P_1 V_1 = (\frac{3}{2} + \frac{1}{2}) P_1 V_1 (x^2 - 1)$.

Сократим обе части уравнения на $P_1 V_1$ (так как $P_1 V_1 > 0$):

$6 = \frac{4}{2} (x^2 - 1)$.

$6 = 2 (x^2 - 1)$.

$3 = x^2 - 1$.

$x^2 = 4$.

Поскольку газ расширялся, $V_2 > V_1$, и, следовательно, $x > 1$. Поэтому мы выбираем положительный корень:

$x = 2$.

Ответ: Объем газа увеличился в 2 раза.