Номер 434, страница 90 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

434. На рисунке 68 представлен циклический процесс, проведенный с идеальным одноатомным газом. В состоянии 1 давление $p_0 = 40$ кПа. Определите объем газа в состоянии 1, если за один цикл газ получил количество теплоты $Q_1 = 0,63$ МДж.

Рис. 68

Дано:

Циклический процесс 1-2-3-4-1 с идеальным одноатомным газом.
$p_1 = p_0 = 40 \text{ кПа} = 40 \cdot 10^3 \text{ Па}$
$V_1 = V_0$
$p_2 = 2p_0$
$V_2 = V_0$
$p_3 = 4p_0$
$V_3 = 4V_0$
$p_4 = p_0$
$V_4 = 4V_0$
Количество теплоты, полученное газом за цикл, $Q_1 = 0,63 \text{ МДж} = 0,63 \cdot 10^6 \text{ Дж}$

Найти:

$V_0$

Решение:

Количество теплоты, полученное газом за цикл, $Q_1$ - это сумма всей теплоты, подведенной к газу на тех участках цикла, где $Q > 0$. Для нахождения этих участков проанализируем каждый процесс, используя первый закон термодинамики: $Q = \Delta U + A$, где $Q$ — количество теплоты, переданное газу, $\Delta U$ — изменение его внутренней энергии, а $A$ — работа, совершенная газом. Для одноатомного идеального газа изменение внутренней энергии определяется как $\Delta U = \frac{3}{2}\Delta(pV) = \frac{3}{2}(p_fV_f - p_iV_i)$, где $i$ и $f$ - начальное и конечное состояния.

1. Участок 1-2 (изохорное нагревание)

Процесс изохорный, так как $V_1 = V_2 = V_0$. Работа газа на этом участке равна нулю: $A_{12} = 0$.
Изменение внутренней энергии: $\Delta U_{12} = \frac{3}{2}(p_2V_2 - p_1V_1) = \frac{3}{2}(2p_0V_0 - p_0V_0) = \frac{3}{2}p_0V_0$.
Количество теплоты: $Q_{12} = \Delta U_{12} + A_{12} = \frac{3}{2}p_0V_0$.
Так как $p_0 > 0$ и $V_0 > 0$, то $Q_{12} > 0$. На этом участке газ получает теплоту.

2. Участок 2-3 (расширение с нагреванием)

Работа газа на этом участке равна площади трапеции под графиком процесса 2-3:
$A_{23} = \frac{p_2 + p_3}{2}(V_3 - V_2) = \frac{2p_0 + 4p_0}{2}(4V_0 - V_0) = \frac{6p_0}{2}(3V_0) = 9p_0V_0$.
Изменение внутренней энергии: $\Delta U_{23} = \frac{3}{2}(p_3V_3 - p_2V_2) = \frac{3}{2}(4p_0 \cdot 4V_0 - 2p_0V_0) = \frac{3}{2}(16p_0V_0 - 2p_0V_0) = \frac{3}{2}(14p_0V_0) = 21p_0V_0$.
Количество теплоты: $Q_{23} = \Delta U_{23} + A_{23} = 21p_0V_0 + 9p_0V_0 = 30p_0V_0$.
Так как $p_0 > 0$ и $V_0 > 0$, то $Q_{23} > 0$. На этом участке газ получает теплоту.

3. Участок 3-4 (изохорное охлаждение)

Процесс изохорный, $V_3 = V_4 = 4V_0$, следовательно, работа газа $A_{34} = 0$.
Изменение внутренней энергии: $\Delta U_{34} = \frac{3}{2}(p_4V_4 - p_3V_3) = \frac{3}{2}(p_0 \cdot 4V_0 - 4p_0 \cdot 4V_0) = \frac{3}{2}(4p_0V_0 - 16p_0V_0) = \frac{3}{2}(-12p_0V_0) = -18p_0V_0$.
Количество теплоты: $Q_{34} = \Delta U_{34} + A_{34} = -18p_0V_0$.
Так как $Q_{34} < 0$, на этом участке газ отдает теплоту.

4. Участок 4-1 (изобарное сжатие)

Процесс изобарный, $p_4 = p_1 = p_0$.
Работа газа: $A_{41} = p_0(V_1 - V_4) = p_0(V_0 - 4V_0) = -3p_0V_0$.
Изменение внутренней энергии: $\Delta U_{41} = \frac{3}{2}(p_1V_1 - p_4V_4) = \frac{3}{2}(p_0V_0 - p_0 \cdot 4V_0) = \frac{3}{2}(-3p_0V_0) = -4,5p_0V_0$.
Количество теплоты: $Q_{41} = \Delta U_{41} + A_{41} = -4,5p_0V_0 - 3p_0V_0 = -7,5p_0V_0$.
Так как $Q_{41} < 0$, на этом участке газ отдает теплоту.

Суммарное количество теплоты $Q_1$, полученное газом за цикл, равно сумме теплот на участках, где газ получал тепло (1-2 и 2-3):
$Q_1 = Q_{12} + Q_{23} = \frac{3}{2}p_0V_0 + 30p_0V_0 = 1,5p_0V_0 + 30p_0V_0 = 31,5p_0V_0$.
Выразим из этого уравнения искомый объем $V_0$:
$V_0 = \frac{Q_1}{31,5p_0}$.
Подставим числовые значения в системе СИ:
$V_0 = \frac{0,63 \cdot 10^6 \text{ Дж}}{31,5 \cdot 40 \cdot 10^3 \text{ Па}} = \frac{0,63 \cdot 10^6}{1260 \cdot 10^3} = \frac{630}{1260} = 0,5 \text{ м}^3$.

Ответ: $0,5 \text{ м}^3$.