Номер 440, страница 92 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

440. Состояние идеального одноатомного газа изменяется по замкнутому циклу, состоящему из двух изохор и двух изобар (рис. 73). Масса газа $m = 20$ г, его молярная

Рис. 73

масса $M = 40 \frac{г}{моль}$. Температура газа в первом состоянии $T_1 = 256$ К, в третьем состоянии — $T_3 = 1024$ К. Определите полезную работу, совершенную силой давления газа за цикл, если во втором и четвертом состояниях температура газа одинаковая: $T_2 = T_4$.

Дано:

$m = 20 \text{ г} = 0.02 \text{ кг}$

$M = 40 \frac{\text{г}}{\text{моль}} = 0.04 \frac{\text{кг}}{\text{моль}}$

$T_1 = 256 \text{ К}$

$T_3 = 1024 \text{ К}$

$T_2 = T_4$

$R \approx 8.31 \frac{\text{Дж}}{\text{моль} \cdot \text{К}}$

Найти:

$A$

Решение:

Полезная работа, совершенная газом за цикл, равна сумме работ на каждом из четырех участков цикла:

$A = A_{12} + A_{23} + A_{34} + A_{41}$

Из графика в координатах p-T видно, что:

Процессы 1-2 и 3-4 являются изохорными ($V = \text{const}$), так как зависимость давления от температуры линейная и проходит через начало координат ($p/T = \text{const}$). Работа газа в изохорном процессе равна нулю.

$A_{12} = 0, \quad A_{34} = 0$

Процессы 2-3 и 4-1 являются изобарными ($p = \text{const}$), так как давление не изменяется. Работа газа в изобарном процессе вычисляется по формуле $A = p\Delta V$. Используя уравнение состояния идеального газа $pV = \nu RT$, работу можно выразить через изменение температуры:

$A = \nu R \Delta T$

Для участка 2-3 (изобарное расширение):

$A_{23} = \nu R (T_3 - T_2)$

Для участка 4-1 (изобарное сжатие):

$A_{41} = \nu R (T_1 - T_4)$

Тогда полная работа за цикл равна:

$A = A_{23} + A_{41} = \nu R (T_3 - T_2) + \nu R (T_1 - T_4) = \nu R (T_1 + T_3 - T_2 - T_4)$

По условию $T_2 = T_4$, следовательно, формула для работы упрощается:

$A = \nu R (T_1 + T_3 - 2T_2)$

Для нахождения работы необходимо определить количество вещества $\nu$ и температуру $T_2$.

Количество вещества $\nu$ найдем по формуле:

$\nu = \frac{m}{M} = \frac{0.02 \text{ кг}}{0.04 \text{ кг/моль}} = 0.5 \text{ моль}$

Температуру $T_2$ найдем, используя законы для изохорных процессов:

Для процесса 1-2: $\frac{p_1}{T_1} = \frac{p_2}{T_2} \implies \frac{p_2}{p_1} = \frac{T_2}{T_1}$

Для процесса 3-4: $\frac{p_3}{T_3} = \frac{p_4}{T_4}$

Так как процессы 2-3 и 4-1 изобарные, то $p_2 = p_3$ и $p_4 = p_1$. Тогда для процесса 3-4 получаем:

$\frac{p_2}{T_3} = \frac{p_1}{T_4} \implies \frac{p_2}{p_1} = \frac{T_3}{T_4}$

Приравнивая выражения для отношения давлений $\frac{p_2}{p_1}$, получаем:

$\frac{T_2}{T_1} = \frac{T_3}{T_4}$

$T_2 T_4 = T_1 T_3$

Учитывая, что $T_2 = T_4$, имеем:

$T_2^2 = T_1 T_3$

$T_2 = \sqrt{T_1 T_3} = \sqrt{256 \text{ К} \cdot 1024 \text{ К}} = \sqrt{262144} \text{ К} = 512 \text{ К}$

Теперь можем вычислить полезную работу за цикл:

$A = \nu R (T_1 + T_3 - 2T_2) = 0.5 \text{ моль} \cdot 8.31 \frac{\text{Дж}}{\text{моль} \cdot \text{К}} \cdot (256 \text{ К} + 1024 \text{ К} - 2 \cdot 512 \text{ К})$

$A = 0.5 \cdot 8.31 \cdot (1280 - 1024) \text{ Дж} = 0.5 \cdot 8.31 \cdot 256 \text{ Дж}$

$A = 128 \cdot 8.31 \text{ Дж} = 1063.68 \text{ Дж}$

Округлим результат до целых:

$A \approx 1064 \text{ Дж}$

Ответ: $1064 \text{ Дж}$.