Номер 446, страница 94 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

446. Первоначальный термический коэффициент полезного действия теплового двигателя был $\eta_1 = 40 \%$. Затем количество теплоты, отданное холодильнику за один цикл, увеличили на $\alpha = 36 \%$. Определите, каким стал термический КПД двигателя, если полезная работа, совершенная силами давления газа за один цикл, уменьшилась на $\beta = 4 \%$.

Дано:

Первоначальный КПД: $ \eta_1 = 40 \% = 0.4 $
Увеличение теплоты, отданной холодильнику: $ \alpha = 36 \% = 0.36 $
Уменьшение полезной работы: $ \beta = 4 \% = 0.04 $

Найти:

Новый КПД двигателя: $ \eta_2 $

Решение:

Термический коэффициент полезного действия (КПД) теплового двигателя определяется отношением полезной работы $ A $, совершенной двигателем за цикл, к количеству теплоты $ Q_{in} $, полученному от нагревателя:

$ \eta = \frac{A}{Q_{in}} $

Согласно первому закону термодинамики для циклического процесса, работа равна разности теплоты, полученной от нагревателя, и теплоты $ Q_{out} $, отданной холодильнику:

$ A = Q_{in} - Q_{out} $

Из этих двух формул можно выразить КПД через теплоты:

$ \eta = 1 - \frac{Q_{out}}{Q_{in}} $

Для начального состояния двигателя (с индексом 1) имеем:

$ \eta_1 = 0.4 $

Выразим начальную работу $ A_1 $ и начальное количество теплоты, отданное холодильнику $ Q_{out,1} $, через количество теплоты, полученное от нагревателя $ Q_{in,1} $.

Из определения КПД:

$ A_1 = \eta_1 \cdot Q_{in,1} = 0.4 \cdot Q_{in,1} $

Из второго выражения для КПД:

$ \frac{Q_{out,1}}{Q_{in,1}} = 1 - \eta_1 = 1 - 0.4 = 0.6 $

$ Q_{out,1} = 0.6 \cdot Q_{in,1} $

Теперь рассмотрим конечное состояние двигателя (с индексом 2) после изменений.

Количество теплоты, отданное холодильнику, увеличилось на $ \alpha = 36 \% $:

$ Q_{out,2} = Q_{out,1} \cdot (1 + \alpha) = Q_{out,1} \cdot (1 + 0.36) = 1.36 \cdot Q_{out,1} $

Полезная работа уменьшилась на $ \beta = 4 \% $:

$ A_2 = A_1 \cdot (1 - \beta) = A_1 \cdot (1 - 0.04) = 0.96 \cdot A_1 $

Новый КПД двигателя $ \eta_2 $ определяется как:

$ \eta_2 = \frac{A_2}{Q_{in,2}} $

Новое количество теплоты, полученное от нагревателя, $ Q_{in,2} $, равно сумме новой работы и новой теплоты, отданной холодильнику:

$ Q_{in,2} = A_2 + Q_{out,2} $

Подставим в эту формулу выражения для $ A_2 $ и $ Q_{out,2} $, выраженные через начальные величины $ A_1 $ и $ Q_{out,1} $:

$ Q_{in,2} = 0.96 \cdot A_1 + 1.36 \cdot Q_{out,1} $

Теперь выразим $ Q_{out,1} $ через $ A_1 $:

$ \frac{Q_{out,1}}{A_1} = \frac{0.6 \cdot Q_{in,1}}{0.4 \cdot Q_{in,1}} = \frac{0.6}{0.4} = 1.5 \implies Q_{out,1} = 1.5 \cdot A_1 $

Подставим это соотношение в выражение для $ Q_{in,2} $:

$ Q_{in,2} = 0.96 \cdot A_1 + 1.36 \cdot (1.5 \cdot A_1) = 0.96 \cdot A_1 + 2.04 \cdot A_1 = 3.0 \cdot A_1 $

Теперь мы можем рассчитать новый КПД $ \eta_2 $:

$ \eta_2 = \frac{A_2}{Q_{in,2}} = \frac{0.96 \cdot A_1}{3.0 \cdot A_1} = \frac{0.96}{3.0} = 0.32 $

В процентах новый КПД составит $ 0.32 \cdot 100\% = 32 \% $.

Ответ: термический КПД двигателя стал равен $ 32 \% $.