Номер 447, страница 94 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

447. Состояние идеального одноатомного газа изменяется по циклу, показанному на рисунке 74. Определите за один цикл:

а) полезную работу, совершенную силой давления газа;

б) количество теплоты, полученное от нагревателя;

в) количество теплоты, отданное холодильнику;

г) максимальное изменение внутренней энергии газа;

д) термический КПД цикла.

$p, \text{МПа}$ 1,0 0,5 2 3 1 4 0 4,0 8,0 $V, \text{л}$ Рис. 74

Дано:

Идеальный одноатомный газ.

Циклический процесс 1-2-3-4-1, показанный на $p, V$ диаграмме.

Параметры в узловых точках цикла:

$p_1 = 0,5 \text{ МПа} = 0,5 \cdot 10^6 \text{ Па}$

$p_2 = 1,0 \text{ МПа} = 1,0 \cdot 10^6 \text{ Па}$

$V_1 = 4,0 \text{ л} = 4,0 \cdot 10^{-3} \text{ м}^3$

$V_2 = 8,0 \text{ л} = 8,0 \cdot 10^{-3} \text{ м}^3$

Найти:

а) $A_{полезная}$ — полезную работу за цикл;

б) $Q_н$ — количество теплоты, полученное от нагревателя;

в) $Q_х$ — количество теплоты, отданное холодильнику;

г) $(\Delta U)_{max}$ — максимальное изменение внутренней энергии;

д) $\eta$ — термический КПД цикла.

Решение:

а) полезную работу, совершенную силой давления газа

Полезная работа газа за цикл в координатах $p,V$ численно равна площади фигуры, ограниченной графиком цикла. В данном случае это площадь прямоугольника со сторонами $\Delta p = p_2 - p_1$ и $\Delta V = V_2 - V_1$.

$A_{полезная} = \Delta p \cdot \Delta V = (p_2 - p_1) \cdot (V_2 - V_1)$

Подставим числовые значения:

$A_{полезная} = (1,0 \cdot 10^6 \text{ Па} - 0,5 \cdot 10^6 \text{ Па}) \cdot (8,0 \cdot 10^{-3} \text{ м}^3 - 4,0 \cdot 10^{-3} \text{ м}^3) = (0,5 \cdot 10^6 \text{ Па}) \cdot (4,0 \cdot 10^{-3} \text{ м}^3) = 2000 \text{ Дж} = 2,0 \text{ кДж}$.

Ответ: $2,0 \text{ кДж}$.

Для решения следующих пунктов проанализируем каждый процесс цикла, используя первый закон термодинамики $Q = \Delta U + A$ и формулу для изменения внутренней энергии одноатомного идеального газа $\Delta U = \frac{3}{2} \nu R \Delta T = \frac{3}{2} \Delta(pV)$.

Процесс 1-2 (изохорное нагревание, $V=const$):

Работа газа $A_{12} = 0$, так как объем не меняется.

Изменение внутренней энергии: $\Delta U_{12} = \frac{3}{2} (p_2V_1 - p_1V_1) = \frac{3}{2} V_1 (p_2 - p_1) = \frac{3}{2} \cdot 4,0 \cdot 10^{-3} \cdot (1,0 \cdot 10^6 - 0,5 \cdot 10^6) = 3000 \text{ Дж}$.

Количество теплоты: $Q_{12} = \Delta U_{12} + A_{12} = 3000 \text{ Дж}$. Так как $Q_{12} > 0$, газ получает тепло.

Процесс 2-3 (изобарное расширение, $p=const$):

Работа газа: $A_{23} = p_2 (V_2 - V_1) = 1,0 \cdot 10^6 \cdot (8,0 \cdot 10^{-3} - 4,0 \cdot 10^{-3}) = 4000 \text{ Дж}$.

Изменение внутренней энергии: $\Delta U_{23} = \frac{3}{2} p_2 (V_2 - V_1) = \frac{3}{2} \cdot 1,0 \cdot 10^6 \cdot (4,0 \cdot 10^{-3}) = 6000 \text{ Дж}$.

Количество теплоты: $Q_{23} = \Delta U_{23} + A_{23} = 6000 + 4000 = 10000 \text{ Дж}$. Так как $Q_{23} > 0$, газ получает тепло.

Процесс 3-4 (изохорное охлаждение, $V=const$):

Работа газа $A_{34} = 0$.

Изменение внутренней энергии: $\Delta U_{34} = \frac{3}{2} V_2 (p_1 - p_2) = \frac{3}{2} \cdot 8,0 \cdot 10^{-3} \cdot (0,5 \cdot 10^6 - 1,0 \cdot 10^6) = -6000 \text{ Дж}$.

Количество теплоты: $Q_{34} = \Delta U_{34} + A_{34} = -6000 \text{ Дж}$. Так как $Q_{34} < 0$, газ отдает тепло.

Процесс 4-1 (изобарное сжатие, $p=const$):

Работа газа: $A_{41} = p_1 (V_1 - V_2) = 0,5 \cdot 10^6 \cdot (4,0 \cdot 10^{-3} - 8,0 \cdot 10^{-3}) = -2000 \text{ Дж}$.

Изменение внутренней энергии: $\Delta U_{41} = \frac{3}{2} p_1 (V_1 - V_2) = \frac{3}{2} \cdot 0,5 \cdot 10^6 \cdot (-4,0 \cdot 10^{-3}) = -3000 \text{ Дж}$.

Количество теплоты: $Q_{41} = \Delta U_{41} + A_{41} = -3000 - 2000 = -5000 \text{ Дж}$. Так как $Q_{41} < 0$, газ отдает тепло.

б) количество теплоты, полученное от нагревателя

Количество теплоты, полученное от нагревателя ($Q_н$), равно сумме всех положительных количеств теплоты за цикл. Газ получает тепло на участках 1-2 и 2-3.

$Q_н = Q_{12} + Q_{23} = 3000 \text{ Дж} + 10000 \text{ Дж} = 13000 \text{ Дж} = 13,0 \text{ кДж}$.

Ответ: $13,0 \text{ кДж}$.

в) количество теплоты, отданное холодильнику

Количество теплоты, отданное холодильнику ($Q_х$), равно сумме модулей всех отрицательных количеств теплоты за цикл. Газ отдает тепло на участках 3-4 и 4-1.

$Q_х = |Q_{34}| + |Q_{41}| = |-6000 \text{ Дж}| + |-5000 \text{ Дж}| = 11000 \text{ Дж} = 11,0 \text{ кДж}$.

Ответ: $11,0 \text{ кДж}$.

г) максимальное изменение внутренней энергии газа

Максимальное изменение внутренней энергии газа за цикл равно разности между максимальным и минимальным значениями внутренней энергии. Внутренняя энергия $U = \frac{3}{2} pV$ максимальна в точке 3 (где произведение $pV$ максимально) и минимальна в точке 1 (где произведение $pV$ минимально).

$U_{max} = U_3 = \frac{3}{2} p_2V_2 = \frac{3}{2} \cdot (1,0 \cdot 10^6 \text{ Па}) \cdot (8,0 \cdot 10^{-3} \text{ м}^3) = 12000 \text{ Дж}$.

$U_{min} = U_1 = \frac{3}{2} p_1V_1 = \frac{3}{2} \cdot (0,5 \cdot 10^6 \text{ Па}) \cdot (4,0 \cdot 10^{-3} \text{ м}^3) = 3000 \text{ Дж}$.

$(\Delta U)_{max} = U_{max} - U_{min} = 12000 \text{ Дж} - 3000 \text{ Дж} = 9000 \text{ Дж} = 9,0 \text{ кДж}$.

Ответ: $9,0 \text{ кДж}$.

д) термический КПД цикла

Термический коэффициент полезного действия (КПД) цикла равен отношению полезной работы к количеству теплоты, полученному от нагревателя.

$\eta = \frac{A_{полезная}}{Q_н}$

$\eta = \frac{2000 \text{ Дж}}{13000 \text{ Дж}} = \frac{2}{13} \approx 0,154$

В процентах: $\eta \approx 15,4 \%$

Ответ: $\frac{2}{13}$ или примерно $15,4 \%$.