Номер 453, страница 95 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

453. Тепловой двигатель, термический КПД которого $\eta = 13 \%$, работает по циклу, показанному на рисунке 79. Рабочим телом является $v = 0,50 \text{ моль}$ идеального одноатомного газа. В состоянии 1 температура газа $T_1 = 335 \text{ К}$. Определите работу, совершенную силами давления газа при изотермическом расширении, если объем $V_3 = 2V_1$.

Рис. 79

Дано:

$\eta = 13 \% = 0.13$

$\nu = 0.50$ моль

$T_1 = 335$ К

$V_3 = 2V_1$

Газ — идеальный одноатомный

$R \approx 8.31 \frac{\text{Дж}}{\text{моль} \cdot \text{К}}$ (универсальная газовая постоянная)

Найти:

$A_{23}$ — работу, совершенную силами давления газа при изотермическом расширении.

Решение:

Работа, совершаемая газом в ходе термодинамического процесса, определяется в зависимости от типа процесса. В данной задаче требуется найти работу при изотермическом расширении, которое на графике соответствует процессу 2→3.

Работа идеального газа при изотермическом процессе вычисляется по формуле:

$A = \nu R T \ln \frac{V_{конечный}}{V_{начальный}}$

Для процесса 2→3, который является изотермическим при температуре $T_2$, формула примет вид:

$A_{23} = \nu R T_2 \ln \frac{V_3}{V_2}$

Из графика видно, что процесс 1→2 является изохорным (происходит при постоянном объеме), следовательно, $V_2 = V_1$. Тогда формула для работы преобразуется к виду:

$A_{23} = \nu R T_2 \ln \frac{V_3}{V_1}$

По условию задачи, $V_3 = 2V_1$, значит, отношение объемов $\frac{V_3}{V_1} = 2$.

$A_{23} = \nu R T_2 \ln(2)$

Для вычисления работы необходимо найти температуру $T_2$. Рассмотрим процесс 3→1. На V-T диаграмме этот процесс изображен в виде прямой линии, продолжение которой проходит через начало координат. Это означает, что в ходе этого процесса объем прямо пропорционален температуре ($V \propto T$), что соответствует изобарному процессу (закон Гей-Люссака, $p = \text{const}$).

Таким образом, давление в состоянии 3 равно давлению в состоянии 1: $p_3 = p_1$.

Запишем уравнение состояния идеального газа (уравнение Менделеева-Клапейрона) для состояний 1 и 3:

$p_1 V_1 = \nu R T_1$

$p_3 V_3 = \nu R T_3$

Поскольку $p_1 = p_3$, мы можем приравнять выражения для давления:

$\frac{\nu R T_1}{V_1} = \frac{\nu R T_3}{V_3}$

Отсюда следует соотношение:

$\frac{T_1}{V_1} = \frac{T_3}{V_3}$

Выразим температуру $T_3$:

$T_3 = T_1 \frac{V_3}{V_1}$

Подставим известные значения $T_1 = 335$ К и $\frac{V_3}{V_1} = 2$:

$T_3 = 335 \text{ К} \cdot 2 = 670 \text{ К}$

Процесс 2→3 является изотермическим, значит, температура на всем его протяжении постоянна: $T_2 = T_3 = 670$ К.

Теперь мы можем вычислить искомую работу $A_{23}$, подставив все известные величины в формулу:

$A_{23} = 0.50 \text{ моль} \cdot 8.31 \frac{\text{Дж}}{\text{моль} \cdot \text{К}} \cdot 670 \text{ К} \cdot \ln(2)$

Используя значение $\ln(2) \approx 0.693$, получим:

$A_{23} \approx 0.50 \cdot 8.31 \cdot 670 \cdot 0.693 \approx 1930$ Дж.

Информация о КПД двигателя ($\eta = 13\%$) является избыточной для нахождения работы в данном процессе, но может служить для проверки правильности анализа графика. Расчет КПД на основе найденных температур ($T_1=335$ К, $T_2=670$ К) дает значение, близкое к 13%, что подтверждает верность решения.

Ответ: работа, совершенная силами давления газа при изотермическом расширении, равна приблизительно 1930 Дж.