Номер 459, страница 97 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

459. Тепловой двигатель работает по циклу, изображенному на рисунке 85. Рабочим телом двигателя является идеальный одноатомный газ, силы давления которого при изобарном расширении совершают работу $A_{12} = 1,5$ кДж. Определите термический КПД теплового двигателя, если при изотермическом сжатии внешние силы совершают работу $A_{31} = 0,90$ кДж.

Рис. 85

Дано:

Рабочее тело – идеальный одноатомный газ.

Работа газа при изобарном расширении 1-2: $A_{12} = 1,5$ кДж.

Работа внешних сил при изотермическом сжатии 2-3: $A'_{23} = 0,90$ кДж (в условии задачи допущена опечатка в индексе, указано $A_{31}$, но изотермическим является процесс 2-3).

$A_{12} = 1,5 \cdot 10^3$ Дж
$A'_{23} = 0,90 \cdot 10^3$ Дж

Найти:

Термический КПД теплового двигателя $\eta$.

Решение:

Термический коэффициент полезного действия (КПД) теплового двигателя определяется по формуле:

$\eta = \frac{A_{цикла}}{Q_{нагр}} \cdot 100\%$

где $A_{цикла}$ – полезная работа, совершенная газом за цикл, а $Q_{нагр}$ – количество теплоты, полученное газом от нагревателя за цикл.

1. Найдем полезную работу газа за цикл. Работа за цикл равна сумме работ на каждом из участков:

$A_{цикла} = A_{12} + A_{23} + A_{31}$

Работа $A_{12}$ дана по условию: $A_{12} = 1,5$ кДж.

Процесс 2-3 – изотермическое сжатие. Работа, совершаемая газом ($A_{23}$), равна по модулю и противоположна по знаку работе внешних сил ($A'_{23}$):

$A_{23} = -A'_{23} = -0,90$ кДж.

Процесс 3-1 – изохорный (объем V постоянен, $V = const$). При изохорном процессе газ не совершает работу:

$A_{31} = 0$.

Таким образом, работа за цикл составляет:

$A_{цикла} = 1,5 \text{ кДж} - 0,90 \text{ кДж} + 0 = 0,60$ кДж.

2. Найдем количество теплоты, полученное газом от нагревателя ($Q_{нагр}$). Для этого проанализируем каждый процесс с точки зрения первого закона термодинамики $Q = \Delta U + A$. Газ получает теплоту ($Q>0$), когда растет его внутренняя энергия или когда он совершает положительную работу (или и то, и другое).

Процесс 1-2 (изобарное расширение): Температура и объем газа увеличиваются ($T_2 > T_1$, $V_2 > V_1$). Работа газа $A_{12} > 0$, и изменение внутренней энергии $\Delta U_{12} > 0$. Следовательно, газ получает теплоту: $Q_{12} = \Delta U_{12} + A_{12} > 0$.

Процесс 2-3 (изотермическое сжатие): Температура постоянна ($T = const$), поэтому изменение внутренней энергии равно нулю: $\Delta U_{23} = 0$. Газ сжимается, его работа отрицательна $A_{23} < 0$. Следовательно, газ отдает теплоту: $Q_{23} = A_{23} = -0,90$ кДж.

Процесс 3-1 (изохорное охлаждение): Объем постоянен ($V = const$), работа газа равна нулю: $A_{31} = 0$. Температура уменьшается ($T_1 < T_3$), поэтому внутренняя энергия уменьшается: $\Delta U_{31} < 0$. Следовательно, газ отдает теплоту: $Q_{31} = \Delta U_{31} < 0$.

Таким образом, газ получает теплоту только на участке 1-2. Значит, $Q_{нагр} = Q_{12}$.

Для одноатомного идеального газа изменение внутренней энергии на участке 1-2 равно $\Delta U_{12} = \frac{3}{2} \nu R \Delta T_{12}$. Работа при изобарном процессе $A_{12} = p \Delta V = \nu R \Delta T_{12}$. Отсюда следует, что $\Delta U_{12} = \frac{3}{2} A_{12}$.

Тогда количество теплоты, полученное газом в процессе 1-2:

$Q_{12} = \Delta U_{12} + A_{12} = \frac{3}{2} A_{12} + A_{12} = \frac{5}{2} A_{12}$.

Подставим значение $A_{12}$:

$Q_{нагр} = Q_{12} = \frac{5}{2} \cdot 1,5 \text{ кДж} = 3,75$ кДж.

3. Рассчитаем КПД двигателя:

$\eta = \frac{A_{цикла}}{Q_{нагр}} = \frac{0,60 \text{ кДж}}{3,75 \text{ кДж}} = 0,16$.

Выразим КПД в процентах:

$\eta = 0,16 \cdot 100\% = 16\%$.

Ответ: 16%.