Номер 460, страница 97 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

460. Идеальный одноатомный газ совершает замкнутый цикл, представленный на рисунке 86. Определите значение $n$, если термический КПД цикла $\eta = 12,5 \%$.

$p$

$np_1$

$p_1$

0

$V_1$

$nV_1$

$V$

1

2

3

Рис. 86

Дано:

Идеальный одноатомный газ

Цикл 1-2-3

Параметры состояний:

$p_1, V_1$

$p_2 = np_1, V_2 = nV_1$

$p_3 = p_1, V_3 = nV_1$

Термический КПД цикла: $η = 12,5 \%$

Перевод в систему СИ:

$η = 12,5 \% = 0,125$

Найти:

$n$ - ?

Решение:

Термический коэффициент полезного действия (КПД) цикла определяется по формуле:

$η = \frac{A_{цикла}}{Q_H}$,

где $A_{цикла}$ — работа, совершенная газом за цикл, а $Q_H$ — количество теплоты, полученное газом от нагревателя.

Работа, совершенная газом за цикл, численно равна площади фигуры, ограниченной графиком цикла на диаграмме p-V. В данном случае это площадь прямоугольного треугольника 1-2-3.

$A_{цикла} = \frac{1}{2} (V_3 - V_1)(p_2 - p_3) = \frac{1}{2} (nV_1 - V_1)(np_1 - p_1) = \frac{1}{2} (n-1)V_1 \cdot (n-1)p_1 = \frac{1}{2}(n-1)^2 p_1 V_1$.

Количество теплоты $Q_H$ газ получает на тех участках цикла, где подводимая к нему теплота положительна ($Q > 0$). Определим знак количества теплоты на каждом участке, используя первый закон термодинамики: $Q = \Delta U + A$. Для одноатомного идеального газа изменение внутренней энергии $\Delta U = \frac{3}{2}\Delta(pV)$.

1. Участок 1-2 (нагревание):

Работа газа $A_{12}$ равна площади трапеции под графиком 1-2:

$A_{12} = \frac{p_1 + p_2}{2}(V_2 - V_1) = \frac{p_1 + np_1}{2}(nV_1 - V_1) = \frac{p_1(1+n)}{2} V_1(n-1) = \frac{1}{2}(n^2-1)p_1V_1$.

Изменение внутренней энергии:

$\Delta U_{12} = \frac{3}{2}(p_2V_2 - p_1V_1) = \frac{3}{2}(np_1 \cdot nV_1 - p_1V_1) = \frac{3}{2}(n^2-1)p_1V_1$.

Количество теплоты на участке 1-2:

$Q_{12} = \Delta U_{12} + A_{12} = \frac{3}{2}(n^2-1)p_1V_1 + \frac{1}{2}(n^2-1)p_1V_1 = 2(n^2-1)p_1V_1$.

Поскольку из графика видно, что $n > 1$, то $Q_{12} > 0$. Следовательно, на этом участке газ получает теплоту.

2. Участок 2-3 (изохорное охлаждение):

Процесс изохорный, $V = const$, поэтому работа газа $A_{23} = 0$. Давление падает, значит, газ охлаждается. Теплота отводится от газа.

$\Delta U_{23} = \frac{3}{2}(p_3V_3 - p_2V_2) = \frac{3}{2}(p_1 \cdot nV_1 - np_1 \cdot nV_1) = \frac{3}{2}np_1V_1(1-n)$.

$Q_{23} = \Delta U_{23}$. Так как $n > 1$, то $Q_{23} < 0$.

3. Участок 3-1 (изобарное сжатие):

Процесс изобарный, $p = const$. Объем уменьшается, значит, газ сжимается. Работа газа отрицательна, и газ охлаждается. Теплота отводится от газа.

$A_{31} = p_1(V_1 - V_3) = p_1(V_1 - nV_1) = -p_1V_1(n-1)$.

$\Delta U_{31} = \frac{3}{2}(p_1V_1 - p_3V_3) = \frac{3}{2}(p_1V_1 - p_1 \cdot nV_1) = -\frac{3}{2}p_1V_1(n-1)$.

$Q_{31} = \Delta U_{31} + A_{31} = -\frac{3}{2}p_1V_1(n-1) - p_1V_1(n-1) = -\frac{5}{2}p_1V_1(n-1)$.

Так как $n > 1$, то $Q_{31} < 0$.

Таким образом, газ получает теплоту только на участке 1-2, поэтому $Q_H = Q_{12} = 2(n^2-1)p_1V_1$.

Подставим выражения для $A_{цикла}$ и $Q_H$ в формулу для КПД:

$η = \frac{\frac{1}{2}(n-1)^2 p_1 V_1}{2(n^2-1)p_1 V_1} = \frac{(n-1)^2}{4(n^2-1)} = \frac{(n-1)^2}{4(n-1)(n+1)} = \frac{n-1}{4(n+1)}$.

Теперь выразим $n$ из полученного уравнения, подставив известное значение $η$:

$0,125 = \frac{n-1}{4(n+1)}$

$0,125 \cdot 4(n+1) = n-1$

$0,5(n+1) = n-1$

$0,5n + 0,5 = n - 1$

$1 + 0,5 = n - 0,5n$

$1,5 = 0,5n$

$n = \frac{1,5}{0,5} = 3$

Ответ: 3.