Номер 458, страница 96 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

458. Идеальный одноатомный газ совершает цикл, состоящий из изохоры, изотермы и изобары (рис. 84). Причем разность объемов $V_3 - V_1 = 600 \text{ см}^3$. Термический КПД цикла $\eta = 20 \%$. Определите давление газа в состоянии 1, если газ за один цикл получил от нагревателя количество теплоты $Q_1 = 1,2 \text{ кДж}$.

Рис. 84

Дано:

Идеальный одноатомный газ

$V_3 - V_1 = 600 \text{ см}^3$

$\eta = 20 \% $

$Q_1 = 1.2 \text{ кДж}$

Перевод в систему СИ:

$V_3 - V_1 = 600 \cdot (10^{-2} \text{ м})^3 = 600 \cdot 10^{-6} \text{ м}^3 = 6 \cdot 10^{-4} \text{ м}^3$

$\eta = 0.2$

$Q_1 = 1.2 \cdot 10^3 \text{ Дж}$

Найти:

$p_1$

Решение:

Рассматриваемый цикл состоит из трех процессов:
1-2: изохорное нагревание ($V = const$). Газ получает тепло.
2-3: изотермическое расширение ($T = const$). Газ получает тепло.
3-1: изобарное сжатие ($p = const$). Газ отдает тепло.

Количество теплоты $Q_1$, полученное газом от нагревателя за один цикл, равно сумме теплоты, полученной на участках 1-2 и 2-3. Количество теплоты, отданное холодильнику за цикл, равно $Q_2 = |Q_{31}|$, где $Q_{31}$ - теплота, отданная при изобарном сжатии.

Термический КПД цикла определяется по формуле:
$\eta = \frac{A_{цикл}}{Q_1}$
где $A_{цикл}$ — работа, совершенная газом за цикл, а $Q_1$ — количество теплоты, полученное от нагревателя.

Согласно первому закону термодинамики для цикла, работа газа равна разности полученной и отданной теплоты:
$A_{цикл} = Q_1 - Q_2$

Подставив это выражение в формулу для КПД, получим:
$\eta = \frac{Q_1 - Q_2}{Q_1} = 1 - \frac{Q_2}{Q_1}$

Отсюда можно выразить количество теплоты, отданное холодильнику:
$Q_2 = Q_1 (1 - \eta)$

Теплота отдается только на участке 3-1 (изобарное сжатие). Для одноатомного идеального газа количество теплоты в изобарном процессе выражается формулой:
$Q_{31} = \nu C_p \Delta T = \nu \frac{5}{2} R (T_1 - T_3)$
где $\nu$ — количество вещества, $R$ — универсальная газовая постоянная, $C_p$ — молярная теплоемкость при постоянном давлении.

Используя уравнение состояния идеального газа $pV = \nu RT$, перепишем формулу для $Q_{31}$:
$Q_{31} = \frac{5}{2} (\nu R T_1 - \nu R T_3) = \frac{5}{2} (p_1 V_1 - p_3 V_3)$

Из графика видно, что процесс 3-1 изобарный, то есть $p_3 = p_1$. Тогда:
$Q_{31} = \frac{5}{2} (p_1 V_1 - p_1 V_3) = \frac{5}{2} p_1 (V_1 - V_3)$

Количество теплоты, отданное холодильнику, $Q_2$, равно модулю $Q_{31}$:
$Q_2 = |Q_{31}| = |\frac{5}{2} p_1 (V_1 - V_3)| = \frac{5}{2} p_1 (V_3 - V_1)$, так как $V_3 > V_1$.

Теперь приравняем два выражения для $Q_2$:
$\frac{5}{2} p_1 (V_3 - V_1) = Q_1 (1 - \eta)$

Выразим из этого уравнения искомое давление $p_1$:
$p_1 = \frac{2 Q_1 (1 - \eta)}{5 (V_3 - V_1)}$

Подставим числовые значения:
$p_1 = \frac{2 \cdot 1.2 \cdot 10^3 \text{ Дж} \cdot (1 - 0.2)}{5 \cdot 6 \cdot 10^{-4} \text{ м}^3} = \frac{2.4 \cdot 10^3 \cdot 0.8}{30 \cdot 10^{-4}} \text{ Па} = \frac{1.92 \cdot 10^3}{3 \cdot 10^{-3}} \text{ Па} = 0.64 \cdot 10^6 \text{ Па} = 6.4 \cdot 10^5 \text{ Па}$

Ответ: $6.4 \cdot 10^5 \text{ Па}$.