Номер 457, страница 96 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

457. Идеальный одноатомный газ в количестве $v = 3,8 \text{ моль}$, находящийся в тепловом двигателе, совершил цикл, представленный на рисунке 83. Термический КПД двигателя $\eta = 24 \%$. Определите полезную работу, совершенную силами давления газа за один цикл, если в состоянии 1 температура газа $T_1 = 300 \text{ К}$.

Рис. 83

Дано:

Идеальный одноатомный газ
Количество вещества: $ν = 3,8$ моль
Термический КПД: $η = 24 \% = 0,24$
Температура в состоянии 1: $T_1 = 300$ К
Универсальная газовая постоянная: $R \approx 8,31$ Дж/(моль·К)
Из графика p-T диаграммы:
Параметры состояния 1: ($T_1$, $p_1$)
Параметры состояния 2: ($T_2 = 2T_1$, $p_2 = 2p_1$)
Параметры состояния 3: ($T_3 = 2T_1$, $p_3 = p_1$)

Найти:

Полезная работа за цикл $A_{полезная}$ - ?

Решение:

По определению, термический коэффициент полезного действия (КПД) теплового двигателя равен отношению полезной работы $A_{полезная}$, совершенной газом за цикл, к количеству теплоты $Q_{нагр}$, полученному от нагревателя:

$η = \frac{A_{полезная}}{Q_{нагр}}$

Отсюда полезная работа выражается как:

$A_{полезная} = η \cdot Q_{нагр}$

Количество теплоты, полученное от нагревателя, — это сумма всей теплоты, подведенной к газу в тех процессах цикла, где количество теплоты $Q$ положительно ($Q > 0$). Для нахождения $Q_{нагр}$ проанализируем каждый процесс цикла, используя первый закон термодинамики $Q = ΔU + A$. Для одноатомного идеального газа изменение внутренней энергии $ΔU = \frac{3}{2}νRΔT$.

Процесс 1-2

В этом процессе, как видно из графика, давление прямо пропорционально температуре ($p = (p_1/T_1)T$). Из уравнения состояния идеального газа $pV = νRT$ следует, что $p/T = νR/V$. Поскольку $p/T$ постоянно, объем $V$ также постоянен. Это изохорный процесс ($V = const$). Работа газа в этом процессе равна нулю:

$A_{12} = 0$

Изменение внутренней энергии:

$ΔU_{12} = \frac{3}{2}νR(T_2 - T_1) = \frac{3}{2}νR(2T_1 - T_1) = \frac{3}{2}νRT_1$

Количество теплоты, полученное газом:

$Q_{12} = ΔU_{12} + A_{12} = \frac{3}{2}νRT_1$

Так как $T_1 > 0$, то $Q_{12} > 0$, следовательно, газ получает тепло от нагревателя.

Процесс 2-3

В этом процессе температура постоянна ($T_2 = T_3 = 2T_1$), это изотермический процесс. Изменение внутренней энергии в изотермическом процессе равно нулю:

$ΔU_{23} = 0$

Работа газа при изотермическом процессе определяется по формуле:

$A_{23} = νRT_2 \ln(\frac{V_3}{V_2})$

Найдем отношение объемов $V_3/V_2$ из уравнения состояния идеального газа:

Для состояния 2: $p_2V_2 = νRT_2 \implies (2p_1)V_2 = νR(2T_1) \implies V_2 = \frac{νRT_1}{p_1}$

Для состояния 3: $p_3V_3 = νRT_3 \implies p_1V_3 = νR(2T_1) \implies V_3 = \frac{2νRT_1}{p_1}$

Следовательно, $V_3/V_2 = 2$. Тогда работа и количество теплоты:

$Q_{23} = A_{23} = νR(2T_1)\ln(2) = 2νRT_1\ln(2)$

Так как $\ln(2) > 0$, то $Q_{23} > 0$, и газ также получает тепло от нагревателя.

Процесс 3-1

В этом процессе давление постоянно ($p_3 = p_1 = const$), это изобарный процесс. Температура уменьшается от $2T_1$ до $T_1$, значит, газ отдает тепло. Количество теплоты при изобарном процессе для одноатомного газа:

$Q_{31} = C_p ν ΔT = \frac{5}{2}νR(T_1 - T_3) = \frac{5}{2}νR(T_1 - 2T_1) = -\frac{5}{2}νRT_1$

Так как $Q_{31} < 0$, в этом процессе газ отдает тепло холодильнику.

Теперь найдем общее количество теплоты, полученное от нагревателя за цикл:

$Q_{нагр} = Q_{12} + Q_{23} = \frac{3}{2}νRT_1 + 2νRT_1\ln(2) = νRT_1(\frac{3}{2} + 2\ln(2))$

Подставим это выражение в формулу для полезной работы:

$A_{полезная} = η \cdot νRT_1(\frac{3}{2} + 2\ln(2))$

Выполним вычисления, используя $\ln(2) \approx 0,693$:

$A_{полезная} = 0,24 \cdot 3,8 \text{ моль} \cdot 8,31 \frac{Дж}{\text{моль} \cdot К} \cdot 300 \text{ К} \cdot (\frac{3}{2} + 2 \cdot 0,693)$

$A_{полезная} \approx 0,24 \cdot 9473,4 \text{ Дж} \cdot (1,5 + 1,386) \approx 2273,6 \text{ Дж} \cdot 2,886 \approx 6561$ Дж

Округляя результат до двух значащих цифр (в соответствии с точностью заданных величин $ν$ и $η$):

$A_{полезная} \approx 6,6 \cdot 10^3$ Дж = 6,6 кДж.

Ответ: полезная работа, совершенная силами давления газа за один цикл, составляет приблизительно 6,6 кДж.