Номер 456, страница 96 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

456. Идеальный одноатомный газ совершает циклический процесс, состоящий из изохоры, изотермы и изобары (рис. 82). Давление $p_1 = 400$ кПа. Объем $V_1 = 0,80$ л. Определите термический КПД цикла, если при изотермическом расширении совершена работа $A = 1,12$ кДж.

$p$
$2p_1$
$p_1$
1
2
3
0
$V_1$
$2V_1$
$V$

Рис. 82

Дано:

Идеальный одноатомный газ

$p_1 = 400$ кПа

$V_1 = 0,80$ л

$A_{23} = 1,12$ кДж (работа при изотермическом расширении)

$p_1 = 400 \cdot 10^3$ Па
$V_1 = 0,80 \cdot 10^{-3}$ м$^3$
$A_{23} = 1,12 \cdot 10^3$ Дж

Найти:

$\eta$ - ?

Решение:

Термический коэффициент полезного действия (КПД) цикла определяется по формуле:

$\eta = \frac{A_{пол}}{Q_{н}}$

где $A_{пол}$ — полная работа, совершенная газом за цикл, а $Q_{н}$ — количество теплоты, полученное газом от нагревателя.

Циклический процесс состоит из трех этапов, которые мы проанализируем по графику в координатах p-V:

1. Процесс 1-2: Изохорное нагревание ($V=const$). Объем газа не меняется, $V_2 = V_1$. Давление увеличивается от $p_1$ до $p_2 = 2p_1$.
2. Процесс 2-3: Изотермическое расширение ($T=const$).
3. Процесс 3-1: Изобарное сжатие ($p=const$). Давление постоянно и равно $p_3 = p_1$.

Определим параметры газа в состояниях 1, 2 и 3.
Состояние 1: $(p_1, V_1)$.
Состояние 2: $(p_2, V_2) = (2p_1, V_1)$.
Состояние 3: $(p_3, V_3)$. Так как процесс 3-1 изобарный и он заканчивается в точке 1, давление в точке 3 равно $p_3 = p_1$.
Поскольку процесс 2-3 изотермический, температура в состоянии 2 равна температуре в состоянии 3 ($T_2=T_3$). Из уравнения состояния идеального газа ($pV=\nu RT$) следует, что $p_2V_2=p_3V_3$.
Подставим известные параметры: $(2p_1)V_1 = p_1V_3$, откуда получаем $V_3 = 2V_1$.
Таким образом, состояние 3 имеет параметры $(p_1, 2V_1)$.

Теперь рассчитаем полную работу за цикл $A_{пол}$ как сумму работ на каждом участке:

$A_{пол} = A_{12} + A_{23} + A_{31}$

Работа на участке 1-2 (изохорный процесс, $V=const$): $A_{12} = 0$.

Работа на участке 2-3 (изотермическое расширение) дана в условии: $A_{23} = 1,12 \cdot 10^3$ Дж.

Работа на участке 3-1 (изобарный процесс, $p=p_1=const$):
$A_{31} = p_1(V_1 - V_3) = p_1(V_1 - 2V_1) = -p_1V_1$.
Вычислим значение $p_1V_1$:
$p_1V_1 = (400 \cdot 10^3 \text{ Па}) \cdot (0,80 \cdot 10^{-3} \text{ м}^3) = 320$ Дж.
Следовательно, $A_{31} = -320$ Дж.

Полная работа за цикл:
$A_{пол} = 0 + 1120 \text{ Дж} - 320 \text{ Дж} = 800$ Дж.

Далее найдем количество теплоты $Q_{н}$, полученное газом от нагревателя. Теплота подводится к газу в тех процессах, где его температура растет или где он совершает работу при постоянной температуре. Это процессы 1-2 (изохорное нагревание) и 2-3 (изотермическое расширение).

$Q_{н} = Q_{12} + Q_{23}$

Количество теплоты на участке 1-2 (изохорный процесс). По первому закону термодинамики $Q_{12} = \Delta U_{12} + A_{12}$. Так как $A_{12}=0$, то $Q_{12} = \Delta U_{12}$.
Для одноатомного идеального газа внутренняя энергия $U = \frac{3}{2}\nu RT = \frac{3}{2}pV$.
$\Delta U_{12} = U_2 - U_1 = \frac{3}{2}(p_2V_2 - p_1V_1) = \frac{3}{2}(2p_1V_1 - p_1V_1) = \frac{3}{2}p_1V_1$.
$Q_{12} = \frac{3}{2} \cdot 320 \text{ Дж} = 480$ Дж.

Количество теплоты на участке 2-3 (изотермический процесс). Внутренняя энергия не меняется ($\Delta U_{23} = 0$), поэтому вся подведенная теплота идет на совершение работы: $Q_{23} = A_{23} = 1120$ Дж.

Общее количество полученной теплоты:
$Q_{н} = 480 \text{ Дж} + 1120 \text{ Дж} = 1600$ Дж.

Наконец, рассчитаем КПД цикла:
$\eta = \frac{A_{пол}}{Q_{н}} = \frac{800 \text{ Дж}}{1600 \text{ Дж}} = 0,5$.

Ответ: термический КПД цикла составляет 0,5 или 50%.